Um retângulo tem perímetro igual a 34 metros e sua diagonal mede 13 metros. A área deste retângulo é igual a

Um retângulo tem perímetro igual a 34 metros e sua diagonal mede 13 metros. A área deste retângulo é igual a

• A)30 m².
• B)60 m².
• C)45 m².
• D)75 m².
• E)90 m².

Vamos resolver este problema passo a passo! Primeiramente, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é igual à soma dos comprimentos de todos os seus lados. Como o perímetro é 34 metros, podemos representá-lo pela fórmula 2(l + c) = 34, onde l é o comprimento e c é a largura.

Em seguida, vamos lembrar que a diagonal de um retângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o comprimento e a largura do retângulo. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para relacionar a diagonal com o comprimento e a largura: 13² = l² + c².

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações acima. Primeiramente, vamos isolar a variável l na primeira equação: l = (34 - 2c) / 2. Em seguida, vamos substituir essa expressão na segunda equação: 13² = ((34 - 2c) / 2)² + c².

Expandingendo e simplificando a equação, obtemos: 169 = (1156 - 68c + 4c²) / 4 + c². Multiplicando ambos os lados por 4, obtemos: 676 = 1156 - 68c + 4c² + 4c². Simplificando, obtemos: 0 = 4c² - 68c - 480.

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos: 0 = c² - 17c - 120. Fatorando, obtemos: 0 = (c - 20)(c + 6). Portanto, as soluções são c = 20 e c = -6. Como a largura não pode ser negativa, a solução é c = 20.

Substituindo c = 20 na equação l = (34 - 2c) / 2, obtemos l = 7. Portanto, o retângulo tem comprimento 7 metros e largura 20 metros.

A área do retângulo é igual ao produto do comprimento e da largura, ou seja, A = l * c = 7 * 20 = 60 m². Portanto, o gabarito correto é B) 60 m².