Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por

Vamos analisar o problema mais a fundo. Se N tem dois algarismos diferentes de zero, podemos representá-lo como 10a + b, onde a e b são os algarismos de N. É claro que a e b não podem ser zero, pois N tem exatamente dois algarismos diferentes de zero.

Além disso, o conjunto P é formado por todos os números de dois algarismos que podemos formar com os algarismos de N, incluindo o próprio N. Isso significa que P = {10a + b, 10b + a, ab, ba}. Note que a ordem dos algarismos importa, pois 10a + b é diferente de 10b + a.

Agora, vamos calcular a soma de todos os números do conjunto P. Temos que:

S = (10a + b) + (10b + a) + ab + ba

Simplificando a expressão acima, obtemos:

S = 11a + 11b + ab + ab

S = 11(a + b) + 2ab

Como a e b são algarismos, sabemos que 0 ≤ a, b ≤ 9. Além disso, como N tem exatamente dois algarismos diferentes de zero, sabemos que a e b não podem ser zero. Isso significa que 1 ≤ a, b ≤ 9.

Portanto, S é um número que pode ser escrito na forma 11x + 2y, onde x e y são números inteiros. Isso significa que S é divisível por 11.

Portanto, a resposta correta é E) 11.