A fim de modelar a forma de uma das pilastras que sustenta uma obra de arte, um engenheiro utilizou o sólido do ℜ 3 que é limitado superiormente pelo paraboloide z = 2.(x2 + y2 ), lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 2y e, inferiormente, pelo plano xy. Qual é o volume do sólido utilizado pelo engenheiro para modelar a forma da referida pilastra?

Para resolver esse problema, é necessário calcular o volume do sólido em questão. Em primeiro lugar, vamos analisar as equações que delimitam o sólido.

O paraboloide z = 2(x² + y²) é a superfície superior do sólido. Já o cilindro x² + y² = 2y é a superfície lateral. O plano xy é a superfície inferior.

Podemos começar calculando a área da superfície circular que forma a base do cilindro. A equação do cilindro pode ser reescrita como x² + (y - 1)² = 1, que é a equação de uma circunferência de centro (0, 1) e raio 1.

Portanto, a área da base do cilindro é igual à área da circunferência, que é π.

Agora, podemos calcular o volume do sólido. O volume do sólido é igual à integral dupla da função z = 2(x² + y²) em relação às variáveis x e y, nas quais x e y variam na região delimitada pela circunferência.

Podemos calcular essa integral dupla usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, a equação do paraboloide se transforma em z = 2r², e a região de integração se transforma em 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π.

A integral dupla se torna, então, ∫∫(2r²)r dr dθ, que é igual a ∫(2r³/3)|₀¹ ∫(2π) dθ.

O resultado da integral é 3π, que é o volume do sólido.

Portanto, a alternativa correta é a C) 3π u.v.