Admita que a água contida em um tanque na forma de um cilindro circular reto, com 10 m de altura e 5 m de raio, é bombeada, em taxa constante, para outro tanque na forma de um cone circular reto, com 30 m de altura e 5 m de raio e a base voltada para cima. Se inicialmente o tanque cilíndrico está cheio, o cônico está vazio e toda água é bombeada em 10 minutos, qual é a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico, em m/min, no instante t = 8 minutos?

Admita que a água contida em um tanque na forma de um cilindro circular reto, com 10 m de altura e 5 m de raio, é bombeada, em taxa constante, para outro tanque na forma de um cone circular reto, com 30 m de altura e 5 m de raio e a base voltada para cima. Se inicialmente o tanque cilíndrico está cheio, o cônico está vazio e toda água é bombeada em 10 minutos, qual é a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico, em m/min, no instante t = 8 minutos?

• Vamos começar calculando o volume de água inicialmente presente no tanque cilíndrico. O volume de um cilindro é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. No caso, temos V = π(5)²(10) = 250π m³.
• Agora, vamos calcular a taxa de bombeamento de água. Como toda água é bombeada em 10 minutos, a taxa de bombeamento é igual ao volume total dividido pelo tempo total, ou seja, 250π m³ / 10 min = 25π m³/min.
• Em seguida, vamos calcular a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico. Para isso, precisamos calcular o volume de água que entra no tanque cônico em 1 minuto e, em seguida, calcular a altura correspondente.
• O volume de água que entra no tanque cônico em 1 minuto é de 25π m³. Já o volume de um cone é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h. No caso, como o raio do cone é constante e igual a 5 m, podemos reescrever a fórmula como V = (1/3)π(5)²h = (25/3)πh.
• Para calcular a altura correspondente ao volume de 25π m³, vamos resolver a equação (25/3)πh = 25π, obtendo h = 3 m. Portanto, a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico é de 3 m/min.
• Porém, é importante notar que essa é a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico em 1 minuto. No entanto, a pergunta pede a taxa de variação no instante t = 8 minutos.
• Para calcular essa taxa, precisamos calcular a altura do nível da água no tanque cônico no instante t = 8 minutos. Como a taxa de bombeamento é constante, a altura do nível da água no instante t = 8 minutos é de 3 m/min × 8 min = 24 m.
• Agora, vamos calcular a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico no instante t = 8 minutos. Para isso, vamos calcular a derivada da altura em relação ao tempo. A altura do nível da água no tanque cônico é dada pela fórmula h = (25/3)πt.
• A derivada da altura em relação ao tempo é d(h)/dt = (25/3)π = 25π/3 m/min. Portanto, a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico no instante t = 8 minutos é de 25π/3 m/min.

A resposta correta é, portanto, 25π/3 m/min.