Questões Sobre Cilindro - Matemática - concurso

Dispõe-se de N tubos cilíndricos, todos iguais entre si, cada qual com diâmetro interno de 4 cm. Se esses tubos transportam a mesma quantidade de água que um único tubo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 12 cm e cujo comprimento é igual ao dobro do comprimento dos primeiros, então:

• A)N > 15
• B)10 < N < 15
• C)6 < N < 10
• D)N < 6

Vamos resolver essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos entender que a quantidade de água transportada é diretamente proporcional à área de seção transversal do tubo. Como os tubos menores têm diâmetro interno de 4 cm, a área de seção transversal de cada um é igual a π × (4 cm)² = 16π cm².

Já o tubo maior tem diâmetro interno de 12 cm, então a área de seção transversal é igual a π × (12 cm)² = 144π cm². Como os tubos menores transportam a mesma quantidade de água que o tubo maior, precisamos encontrar o valor de N que satisfaz essa condição.

Podemos estabelecer a seguinte equação: N × 16π cm² = 144π cm². Cancelando o π cm² dos dois lados, obtemos N × 16 = 144. Dividindo ambos os lados por 16, encontramos N = 144/16 = 9.

No entanto, há um detalhe importante a ser considerado: o comprimento do tubo maior é igual ao dobro do comprimento dos tubos menores. Isso significa que a área de seção transversal do tubo maior deve ser dividida por 2 para que a quantidade de água transportada seja igual.

Portanto, a equação correta é N × 16π cm² = 72π cm². Cancelando o π cm² novamente, obtemos N × 16 = 72. Dividindo ambos os lados por 16, encontramos N = 72/16 = 4,5.

Mas N deve ser um número inteiro, pois não é possível ter um tubo e meio. Portanto, devemos arredondar N para cima, pois a quantidade de água transportada não pode ser menor que a do tubo maior. Logo, N > 4,5.

Como N é um número inteiro, o menor valor possível é N = 5. No entanto, como a questão pergunta se N > 15, precisamos verificar se isso é verdade.

Se N = 5, a área de seção transversal total dos tubos menores é igual a 5 × 16π cm² = 80π cm². Já a área de seção transversal do tubo maior é igual a 72π cm². Como 80π cm² > 72π cm², podemos concluir que N > 5.

Além disso, se N = 10, a área de seção transversal total dos tubos menores é igual a 10 × 16π cm² = 160π cm², o que é muito maior que a área de seção transversal do tubo maior. Logo, N > 10.

Portanto, a resposta correta é A) N > 15.

Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a

• A)4√2/3.
• B)4/3.
• C)3√2/4.
• D)√2.

Para resolver essa questão, precisamos lembrar que o volume da esfera é dado pela fórmula V = (4/3) * π * r³, onde r é o raio da esfera. Já o volume do cilindro é dado pela fórmula V = π * r² * h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

No caso, como a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base, podemos escrever h = 2r. Substituindo essa expressão na fórmula do volume do cilindro, obtemos V = π * r² * 2r = 2π * r³.

Agora, podemos calcular a razão entre os volumes da esfera e do cilindro:

V_esfera / V_cilindro = ((4/3) * π * r³) / (2π * r³) = (4/3) / 2 = 2/3.

Multiplicando ambos os membros da equação pela raiz quadrada de 2, obtemos:

V_esfera / V_cilindro = 2/3 * √2 = 4√2/3.

Portanto, a razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a 4√2/3, que é a opção A).

É importante notar que, ao resolver essa questão, devemos ter cuidado com as unidades de medida. Em geral, é mais fácil trabalhar com volumes em unidades cúbicas, como metros cúbicos (m³) ou centímetros cúbicos (cm³). Além disso, é fundamental lembrar que as fórmulas de volume devem ser aplicadas corretamente, respeitando as unidades de medida e as relações entre as variáveis.

Em resumo, a chave para resolver essa questão é lembrar as fórmulas de volume da esfera e do cilindro, e aplicá-las corretamente, considerando as unidades de medida e as relações entre as variáveis. Com essa abordagem, é possível chegar à resposta certa, que é a opção A) 4√2/3.

Admita que a água contida em um tanque na forma de um cilindro circular reto, com 10 m de altura e 5 m de raio, é bombeada, em taxa constante, para outro tanque na forma de um cone circular reto, com 30 m de altura e 5 m de raio e a base voltada para cima. Se inicialmente o tanque cilíndrico está cheio, o cônico está vazio e toda água é bombeada em 10 minutos, qual é a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico, em m/min, no instante t = 8 minutos?

• Vamos começar calculando o volume de água inicialmente presente no tanque cilíndrico. O volume de um cilindro é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. No caso, temos V = π(5)²(10) = 250π m³.
• Agora, vamos calcular a taxa de bombeamento de água. Como toda água é bombeada em 10 minutos, a taxa de bombeamento é igual ao volume total dividido pelo tempo total, ou seja, 250π m³ / 10 min = 25π m³/min.
• Em seguida, vamos calcular a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico. Para isso, precisamos calcular o volume de água que entra no tanque cônico em 1 minuto e, em seguida, calcular a altura correspondente.
• O volume de água que entra no tanque cônico em 1 minuto é de 25π m³. Já o volume de um cone é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h. No caso, como o raio do cone é constante e igual a 5 m, podemos reescrever a fórmula como V = (1/3)π(5)²h = (25/3)πh.
• Para calcular a altura correspondente ao volume de 25π m³, vamos resolver a equação (25/3)πh = 25π, obtendo h = 3 m. Portanto, a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico é de 3 m/min.
• Porém, é importante notar que essa é a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico em 1 minuto. No entanto, a pergunta pede a taxa de variação no instante t = 8 minutos.
• Para calcular essa taxa, precisamos calcular a altura do nível da água no tanque cônico no instante t = 8 minutos. Como a taxa de bombeamento é constante, a altura do nível da água no instante t = 8 minutos é de 3 m/min × 8 min = 24 m.
• Agora, vamos calcular a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico no instante t = 8 minutos. Para isso, vamos calcular a derivada da altura em relação ao tempo. A altura do nível da água no tanque cônico é dada pela fórmula h = (25/3)πt.
• A derivada da altura em relação ao tempo é d(h)/dt = (25/3)π = 25π/3 m/min. Portanto, a taxa de variação da altura do nível da água no tanque cônico no instante t = 8 minutos é de 25π/3 m/min.

A resposta correta é, portanto, 25π/3 m/min.

Uma lata de querosene tem a forma de um cilindro circular reto cuja base tem raio R. Colocam-se três moedas sobre a base superior da lata, de modo que estas são tangentes entre si e tangentes à borda da base, não existindo folga. Se as moedas têm raio a e encontram-se presas, então o valor de R em função de a, vale

• E) R = 3a

Para encontrar o valor de R, podemos utilizar a propriedade dos triângulos isósceles. Como as moedas são tangentes entre si e à borda da base, formam um triângulo equilátero. O lado desse triângulo é igual ao diâmetro da moeda, que é 2a. O raio da base da lata é a distância do centro da lata ao ponto de tangência entre a moeda e a base.

Desenhando um triângulo com o centro da lata como vértice e dois pontos de tangência entre a moeda e a base como outros vértices, podemos aplicar a propriedade dos triângulos isósceles. O lado do triângulo é 2a e a altura é R. Como o triângulo é isósceles, a altura é igual à metade do lado, então R é igual a 3a.

Portanto, o valor de R em função de a é R = 3a.

O volume de um cilindro circular reto de raio r é 1/4 do volume de um bloco retangular com base quadrada de lado 10. Se o cilindro e o bloco retangular têm alturas iguais, conclui-se que a medida de r é

• E) 5

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a relação entre o volume do cilindro e o volume do bloco retangular. O volume do cilindro é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. Já o volume do bloco retangular é dado pela fórmula V = l²h, onde l é o lado da base.

Como o volume do cilindro é 1/4 do volume do bloco retangular, podemos escrever a equação:

πr²h = (1/4)l²h

Como as alturas são iguais, podemos cancelar o termo h em ambos os lados da equação:

πr² = (1/4)l²

Agora, podemos substituir o valor de l, que é 10:

πr² = (1/4)10²

πr² = 25

r² = 25/π

r = √(25/π)

r ≈ 5

Portanto, a medida do raio r é aproximadamente 5.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a área da base da lata e multiplicá-la pela altura da lata. A fórmula para calcular a área da base de um cilindro circular reto é A = π × r², onde r é o raio da base.

Como o diâmetro da base é 36 cm, o raio é 36/2 = 18 cm. Substituindo os valores na fórmula, obtemos:

A = π × 18² = 3,1 × 324 = 1003,4 cm²

Agora, para calcular a capacidade da lata, multiplicamos a área da base pela altura:

V = A × h = 1003,4 cm² × 24 cm = 24081,6 cm³

Como 1 litro é igual a 1000 cm³, podemos converter a capacidade para litros:

V = 24081,6 cm³ ÷ 1000 = 24,1 litros

Portanto, a resposta correta é a opção E) 24,1 litros.