Questões Sobre Cilindro - Matemática - concurso

Uma jarra cilíndrica está completamente cheia de água. Seu diâmetro interno é 2d, e sua altura, 3H. A água contida nessa jarra é suficiente para encher completamente n copos cilíndricos de diâmetro interno d e altura H.

O maior valor de n é

• A)4
• B)6
• C)8
• D)10
• E)12

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, precisamos encontrar a fórmula para o volume da jarra. Como a jarra é cilíndrica, o volume é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. No entanto, ao invés de r, temos o diâmetro interno 2d. Para encontrar o raio, basta dividir o diâmetro por 2, então r = d. Substituindo na fórmula, temos V = π(d/2)²(3H) = (3πd²H)/4.

Agora, precisamos encontrar a fórmula para o volume de um copo. Novamente, como o copo é cilíndrico, o volume é dado pela fórmula V = πr²h. Nesse caso, temos r = d/2 e h = H, então V = π(d/2)²H = (πd²H)/4.

Agora que temos as fórmulas para os volumes, podemos igualar o volume da jarra ao volume total dos copos. Ou seja, (3πd²H)/4 = n(πd²H)/4. Cancelando os termos πd²H, que estão presentes em ambos os lados da equação, temos 3 = n. No entanto, como n precisa ser um valor inteiro, podemos multiplicar ambos os lados pela 4, resultando em 12 = 4n. Dividindo ambos os lados por 4, encontramos que n = 12.

Portanto, o maior valor de n é 12, que é a opção E).

Uma caixa de água tem a forma de um cilindro, cuja base interna tem 1,2 m de diâmetro e a altura interna mede 70 cm. É correto afirmar que a capacidade dessa caixa é

• A) maior ou igual a 800 litros e menor que 1 000 litros.
• B) maior ou igual a 1 000 litros.
• C) maior ou igual a 700 litros e menor que 800 litros.
• D) maior ou igual a 600 litros e menor que 700 litros.
• E) menor que 600 litros.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a área da base interna do cilindro e multiplicá-la pela altura interna.

Primeiramente, vamos calcular a área da base interna do cilindro. Como a base é circular, a área é dada por A = π × (raio)^2. Como o diâmetro é de 1,2 m, o raio é de 0,6 m (pois o diâmetro é o dobro do raio). Logo, a área da base interna é:

A = π × (0,6)^2 = 1,13 m^2

Agora, vamos calcular a capacidade da caixa de água. A capacidade é dada pelo volume do cilindro, que é V = A × h, onde A é a área da base interna e h é a altura interna.

V = 1,13 m^2 × 0,7 m = 0,791 m^3

Para converter o volume de metros cúbicos para litros, precisamos saber que 1 m^3 é igual a 1000 litros. Logo, a capacidade da caixa de água é:

V = 0,791 m^3 × 1000 L/m^3 = 791 L

Como a capacidade é de 791 litros, é correto afirmar que a capacidade dessa caixa é maior ou igual a 700 litros e menor que 800 litros. Portanto, a resposta certa é a opção C).

Um prédio de apartamentos residenciais decidiu trocar sua caixa de água para que pudesse garantir melhor o abastecimento. Para isso, instalou uma caixa cilíndrica com raio de 9m e altura de 10m. Estando cheia, é correto afirmar que a quantidade de litros de água que a caixa poderá oferecer é de

(Dados: considere π = 3 ).

• A)2.970.000.
• B)2.430.000.
• C)2.350.000.
• D)2.290.000.
• E)1.840.000.

Vamos resolver essa questão! Para encontrar a quantidade de litros de água que a caixa pode oferecer, precisamos calcular o volume da caixa. Como a caixa é cilíndrica, utilizamos a fórmula do volume de um cilindro: V = πr²h, onde V é o volume, π é o número pi, r é o raio e h é a altura.

Substituindo os valores dados, temos: V = 3 × 9² × 10 V = 3 × 81 × 10 V = 2430 m³

Agora, para encontrar a quantidade de litros de água, precisamos converter o volume de metros cúbicos para litros. Sabemos que 1 m³ é igual a 1000 litros, então: V = 2430 m³ × 1000 litros/m³ V = 2430000 litros

No entanto, como a questão pede a resposta em litros, precisamos encontrar o valor mais próximo entre as opções. A opção mais próxima de 2430000 litros é a opção B) 2.430.000.

Portanto, a resposta certa é a opção B) 2.430.000.

Vamos analisar cada afirmação para determinar a resposta correta.

Afirmação I: Considere que o volume da roupa coincide com o volume total de um cilindro com essas medidas, o volume da embalagem não aproveitado é de 4 π (13√13 / 3 - 6) cm³.

Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula V = (4/3) * π * r³, onde r é o raio da esfera. Como o cilindro tem raio de 2 cm e altura de 6 cm, o volume do cilindro é V = π * r² * h = π * 2² * 6 = 24π cm³. O volume da esfera que não é aproveitado é o volume da esfera menos o volume do cilindro.

O raio da esfera pode ser encontrado usando a fórmula do volume do cilindro. Como o cilindro tem raio de 2 cm e altura de 6 cm, o volume do cilindro é igual ao volume da esfera. Portanto, podemos igualar as fórmulas dos volumes e resolver para r.

V = (4/3) * π * r³ = 24π

r³ = 18

r = ∛18 = 2√13 cm

Então, o volume da esfera é V = (4/3) * π * (2√13)³ = 64π cm³. O volume da embalagem não aproveitado é o volume da esfera menos o volume do cilindro, que é igual a 40π cm³.

A afirmação I está ERRADA, pois o volume da embalagem não aproveitado não é de 4 π (13√13 / 3 - 6) cm³.

Afirmação II: O raio da esfera é de 2√13 cm.

Como calculamos anteriormente, o raio da esfera é igual a 2√13 cm. Portanto, a afirmação II está CERTA.

Afirmação III: Se o cilindro tem sua lateral envolvida por papel seda, são necessários, no mínimo, 24π cm² por cilindro.

A área lateral do cilindro é igual a 2 * π * r * h = 2 * π * 2 * 6 = 24π cm². Portanto, a afirmação III está CERTA.

Como a afirmação I está errada, mas as afirmações II e III estão corretas, a resposta correta é a alternativa C) Somente as afirmações I e III são verdadeiras.

Para calcular o volume do cilindro reto, vamos utilizar a fórmula V = π × r² × h, onde V é o volume, π é aproximadamente 3,14, r é o raio do cilindro e h é a altura do cilindro.

No caso em questão, temos que r = 3 cm e h = 6 cm. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

V = 3,14 × 3² × 6

V = 3,14 × 9 × 6

V = 169,56 cm³

Portanto, o volume do cilindro reto é de 169,56 cm³, que é a opção C).

É importante lembrar que a fórmula do volume do cilindro reto é utilizada em diversas situações práticas, como no cálculo da quantidade de líquido que pode ser armazenado em um tanque cilíndrico ou na determinação do volume de um material que será utilizado em uma construção.

Além disso, é fundamental ter conhecimento sobre as fórmulas geométricas básicas, como a fórmula do volume do cilindro reto, para resolver problemas que envolvem medidas e cálculos em diversas áreas, como matemática, física, engenharia, entre outras.

Em resumo, o conhecimento sobre a fórmula do volume do cilindro reto é essencial para resolver problemas que envolvem medidas e cálculos, e sua aplicação é ampla em diversas áreas.

Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

Vamos calcular o volume da pílula original. O volume de uma pílula é igual ao volume do cilindro mais o volume de duas semiesferas. O volume do cilindro é dado por V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. No caso, r = 5 mm e h = 10 mm. Já o volume de uma semiesfera é dado por V = (2/3)πr³. Como há duas semiesferas, o volume total delas é V = (4/3)πr³.
Substituindo os valores, temos:
V_cilindro = π(5)²(10) = 250π mm³
V_semiesferas = (4/3)π(5)³ = (500/3)π mm³
V_pílula = V_cilindro + V_semiesferas = 250π + (500/3)π mm³
V_pílula ≈ 250(3) + (500/3)(3) mm³ ≈ 750 + 500 mm³ ≈ 1250 mm³
Agora, vamos calcular o volume da pílula reprogramada. O raio agora é de 4 mm, e a altura continua sendo 10 mm.
V_cilindro = π(4)²(10) = 160π mm³
V_semiesferas = (4/3)π(4)³ = (256/3)π mm³
V_pílula_reprogramada = V_cilindro + V_semiesferas = 160π + (256/3)π mm³
V_pílula_reprogramada ≈ 160(3) + (256/3)(3) mm³ ≈ 480 + 256 mm³ ≈ 736 mm³
A redução do volume da pílula é de aproximadamente 1250 - 736 mm³ = 514 mm³.

Portanto, a resposta correta é E) 514.

• A) 168.
• B) 304.
• C) 306.
• D) 378.
• E) 514.

Para encontrar o tempo necessário para esvaziar completamente o tanque A, precisamos calcular primeiro o volume do tanque. Como o tanque é um cilindro reto, seu volume é dado pela fórmula:

V_c = π . r² . h

Substituindo os valores dados, temos:

V_c = 3 . (2)² . 3,75 = 45 m³

Agora, para encontrar o tempo necessário para esvaziar o tanque, podemos dividir o volume do tanque pela vazão da válvula:

Tempo = Volume / Vazão

Tempo = 45 m³ / 0,12 m³/min

Tempo = 375 minutos

Convertendo o tempo de minutos para horas e minutos, temos:

Tempo ≈ 6 horas e 15 minutos

Portanto, o tempo necessário para esvaziar completamente o tanque A é, aproximadamente, C) 6 h 15 min.

Vamos analisar cada uma das opções para descobrir qual delas tem a capacidade de 71 litros.

Portanto, a resposta certa é a opção C) Gama.

Vamos analisar essa situação com calma e cuidado. Temos um reservatório cilíndrico com volume de 60 m³ que precisa ser enchido através de um cano com uma determinada vazão. Sabemos que a vazão é o volume de água que sai do cano por segundo. Com essa informação, podemos começar a analisar o problema.

Se, com a vazão atual, são necessárias 3 horas para encher completamente o reservatório de 60 m³, isso significa que a vazão atual é de 60 m³ / 3h = 20 m³/h. Agora, se reduzirmos a vazão em 10%, ela passará a ser de 20 m³/h x 0,9 = 18 m³/h.

Além disso, o reservatório antigo foi substituído por um novo com volume 50% maior, ou seja, 60 m³ x 1,5 = 90 m³. Para calcular o tempo necessário para encher esse novo reservatório, podemos dividir o volume do reservatório pela vazão atual: 90 m³ / 18 m³/h = 5h.

Comparando com o tempo original de 3 horas, podemos ver que o tempo para encher o novo reservatório aumentou em aproximadamente 67% (5h / 3h - 1 = 0,67), o que confirma a afirmação.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar o problema passo a passo. Primeiramente, é importante notar que a vazão do cano é de 50.000 cm³ por segundo quando o raio do cano é de 10 cm. Além disso, sabemos que a vazão aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do cano.

Para encontrar o raio necessário para encher o reservatório em 1.000 segundos, precisamos calcular a vazão necessária para encher o reservatório em 1.000 segundos. O volume do reservatório é de 60 m³, o que equivale a 60.000.000 cm³. Dividindo esse volume pela quantidade de tempo disponível (1.000 segundos), obtemos a vazão necessária:

Vazão necessária = Volume do reservatório / Tempo disponível

Vazão necessária = 60.000.000 cm³ / 1.000 s

Vazão necessária = 60.000 cm³/s

Agora, precisamos encontrar o raio do cano que proporciona essa vazão. Sabemos que a vazão inicial é de 50.000 cm³/s e aumenta em 10% para cada centímetro a mais no raio do cano. Para encontrar o raio necessário, podemos criar uma tabela ou resolver a questão matematicamente.

Vazão inicial = 50.000 cm³/s

Aumento de vazão por centímetro = 10%

Vazão necessária = 60.000 cm³/s

Para encontrar o raio necessário, podemos criar uma equação:

Vazão inicial x (1 + Aumento de vazão por centímetro)^(Raio - 10) = Vazão necessária

50.000 x (1 + 0,1)^(Raio - 10) = 60.000

Resolvendo a equação, encontramos que o raio necessário é de aproximadamente 12 cm.

Portanto, a alternativa correta é C) CERTO. O cano precisará ter 12 cm de raio para encher o reservatório em 1.000 segundos.