Questões Sobre Cilindro - Matemática - concurso

Um tonel cilíndrico de 80 cm de diâmetro e 90 cm de altura contém óleo até a metade de sua capacidade. Na parte inferior do tonel, há uma torneira, inicialmente fechada, cuja vazão é de 6 L por minuto.

Considerando π = 3,1, se essa torneira for aberta, o tonel esvaziará completamente em

• A)menos de meia hora
• B)pouco mais de 37 minutos
• C)cerca de uma hora
• D)uma hora e 15 minutos, aproximadamente
• E)mais de uma hora e meia

Vamos calcular a capacidade do tonel primeiro. Como é um cilindro, sua capacidade é dada pela fórmula: V = π × r² × h, onde V é o volume, r é o raio e h é a altura.

Primeiramente, precisamos encontrar o raio do tonel. Como o diâmetro é de 80 cm, o raio é de 40 cm (r = d/2).

Agora, podemos calcular a capacidade do tonel:

V = 3,1 × (40²) × 90 = aproximadamente 4512 litros

Como o tonel está pela metade, temos que dividir a capacidade pela metade:

V = 4512 ÷ 2 = 2256 litros

Agora, podemos calcular o tempo necessário para esvaziar o tonel completamente. A vazão da torneira é de 6 L por minuto, então:

Tempo = Volume ÷ Vazão = 2256 ÷ 6 = 376 minutos

Convertendo para horas e minutos, temos:

Tempo = 376 minutos ≈ 6,27 horas ≈ 37,62 minutos

Portanto, a resposta correta é B) pouco mais de 37 minutos.

Vamos resolver essa questão de geometria!

Como a altura do cilindro é igual ao raio da base, podemos chamá-los de r. Logo, a altura é r e o raio é também r.

O volume do cilindro é dado pela fórmula V = πr²h, que nesse caso se torna V = πr²r = πr³, pois h = r.

Já a área total do cilindro é dada pela soma da área da base e da área lateral. A área da base é A_b = πr², e a área lateral é A_l = 2πrh, que se torna A_l = 2πr², pois h = r.

Logo, a área total do cilindro é A_t = A_b + A_l = πr² + 2πr² = 3πr².

Como a razão entre o volume do cilindro e a sua área total é igual a 2 metros, podemos montar a equação:

V / A_t = 2

πr³ / 3πr² = 2

r / 3 = 2

r = 6

Agora que sabemos o valor do raio, podemos calcular a área lateral do cilindro:

A_l = 2πr² = 2π(6)² = 2π(36) = 72π

Como a resposta deve ser dada em metros quadrados, a área lateral do cilindro é igual a 128π.

Portanto, a resposta certa é a alternativa A.

Sabe-se que a base circular de um tanque cilíndrico possui raio igual a 3 metros. Esse tanque foi colocado dentro de um tanque esférico, cujo raio é igual a 5 metros.
O volume máximo, em metros cúbicos, que o tanque cilíndrico pode ter é

• A)90 π
• B)72 π
• C)54 π
• D)45 π
• E)36 π

Para encontrarmos a resposta certa, precisamos calcular o volume do tanque cilíndrico. O volume de um cilindro é dado pela fórmula V = π × r² × h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Como o tanque cilíndrico está dentro do tanque esférico, sabemos que a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base do cilindro, ou seja, 2 × 3 = 6 metros.

Portanto, o volume do tanque cilíndrico é V = π × 3² × 6 = 54 π metros cúbicos. No entanto, como o tanque cilíndrico está dentro do tanque esférico, precisamos considerar a restrição imposta pelo tanque esférico. O volume do tanque esférico é dado pela fórmula V = (4/3) × π × r³, onde r é o raio do tanque esférico.

Como o raio do tanque esférico é de 5 metros, o volume do tanque esférico é V = (4/3) × π × 5³ = (500/3) × π metros cúbicos. Para que o tanque cilíndrico tenha o volume máximo, precisamos que o volume do tanque cilíndrico seja igual ao volume do tanque esférico.

Portanto, podemos estabelecer a equação 54 π = (500/3) × π. Dividindo ambos os lados da equação por π, obtemos 54 = (500/3). Multiplicando ambos os lados da equação por 3, obtemos 162 = 500. Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos 81 = 250.

Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por 9, o que nos dá 9 = 250/9. Multiplicando ambos os lados da equação por 9, obtemos 81 = 250. Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos 40.5 = 125.

Portanto, o volume máximo do tanque cilíndrico é de 72 π metros cúbicos, o que é opção B).

Vamos resolver esse problema de física! Primeiramente, precisamos calcular o volume do copo quando está reto. O volume de um cilindro reto é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura. Nesse caso, r = 4 cm e h = 20 cm. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

V = π(4)²(20) = 320π cm³

Agora, vamos analisar o que acontece quando o copo é inclinado. Quando o copo é inclinado em 45°, a altura do líquido diminui, mas a área da base do cilindro permanece a mesma. Vamos chamar a altura do líquido em repouso de h₁ e a altura do líquido quando o copo é inclinado de h₂. Podemos calcular h₂ utilizando a trigonometria:

h₂ = h₁ × cos(45°) = 20 × cos(45°) = 14,14 cm

Agora, podemos calcular o volume de água que resta no copo utilizando a fórmula do volume do cilindro novamente:

V₂ = πr²h₂ = π(4)²(14,14) = 256π cm³

Portanto, a resposta correta é a opção C) 256π cm³.

Para confeccionar os brigadeiros e os doces de coco para a festa de seu filho, Maria preparou uma lata de brigadeiro - cilíndrica, com medidas internas iguais a 12 cm de diâmetro e 10 cm de altura - e uma lata de docinho de coco - cilíndrica, com medidas internas iguais a 8 cm de diâmetro e 10 cm de altura. Considerando que os brigadeiros e os docinhos de coco tenham sido enrolados sob a forma de uma pequena esfera de 1 cm de raio, julgue o item a seguir.

A área lateral externa da lata de docinho de coco é inferior a 70π cm² .

• C) CERTO
• E) ERRADO

Para resolver essa questão, vamos calcular a área lateral externa da lata de docinho de coco. A fórmula para calcular a área lateral de um cilindro é A = 2 × π × r × h, onde A é a área lateral, π é a constante matemática aproximadamente igual a 3,14, r é o raio da base do cilindro e h é a altura do cilindro.

No caso da lata de docinho de coco, o raio da base é igual a 8 cm / 2 = 4 cm e a altura é igual a 10 cm. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

A = 2 × π × 4 × 10

A = 80π cm²

Como a área lateral externa da lata de docinho de coco é igual a 80π cm², que é superior a 70π cm², a afirmativa é ERRADA.

Portanto, a resposta correta é E) ERRADO.

Essa questão é um exemplo de como a matemática pode ser útil em situações cotidianas, como cozinhar e preparar alimentos. Além disso, é fundamental ter habilidades matemáticas para resolver problemas e calcular quantidades corretamente.

Em resumo, para confeccionar brigadeiros e doces de coco, Maria precisou calcular a área lateral externa das latas para saber se elas seriam suficientes para a festa de seu filho. Ao calcular a área lateral externa da lata de docinho de coco, descobrimos que a afirmativa era ERRADA.

Para confeccionar os brigadeiros e os doces de coco para a festa de seu filho, Maria preparou uma lata de brigadeiro - cilíndrica, com medidas internas iguais a 12 cm de diâmetro e 10 cm de altura - e uma lata de docinho de coco - cilíndrica, com medidas internas iguais a 8 cm de diâmetro e 10 cm de altura. Considerando que os brigadeiros e os docinhos de coco tenham sido enrolados sob a forma de uma pequena esfera de 1 cm de raio, julgue o item a seguir.

Maria preparou ingredientes suficientes para enrolar mais de 250 brigadeiros.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos calcular o volume da lata de brigadeiro para descobrir quantos brigadeiros Maria pode enrolar. O volume da lata é igual ao produto da área da base pela altura. A área da base é igual a π vezes o raio ao quadrado. Como a lata é cilíndrica, o diâmetro é igual a dois raios. Portanto, o raio da lata de brigadeiro é igual a 12 cm / 2 = 6 cm.

O volume da lata de brigadeiro é igual a π × (6 cm)² × 10 cm = aproximadamente 1130 cm³. Agora, vamos calcular o volume de um brigadeiro. O volume de uma esfera é igual a 4/3 vezes π vezes o raio ao cubo. O volume de um brigadeiro é igual a 4/3 × π × (1 cm)³ = aproximadamente 4,19 cm³.

Para descobrir quantos brigadeiros Maria pode enrolar, basta dividir o volume da lata pelo volume de um brigadeiro. Isso dá aproximadamente 1130 cm³ ÷ 4,19 cm³ = 270 brigadeiros. Como Maria preparou ingredientes suficientes para enrolar mais de 250 brigadeiros, a resposta certa é C) CERTO.

Além disso, é importante notar que os docinhos de coco também foram enrolados em forma de esfera de 1 cm de raio. Portanto, o volume de um docinho de coco é igual ao volume de um brigadeiro. Se o volume da lata de docinho de coco for menor que o volume da lata de brigadeiro, Maria pode enrolar mais docinhos de coco do que brigadeiros.

Para calcular o volume da lata de docinho de coco, podemos seguir os mesmo passos que antes. O raio da lata de docinho de coco é igual a 8 cm / 2 = 4 cm. O volume da lata de docinho de coco é igual a π × (4 cm)² × 10 cm = aproximadamente 502 cm³.

Com o volume da lata de docinho de coco, podemos calcular quantos docinhos de coco Maria pode enrolar. Isso dá aproximadamente 502 cm³ ÷ 4,19 cm³ = 120 docinhos de coco. Embora o número de docinhos de coco seja menor que o número de brigadeiros, Maria pode enrolar mais de 250 brigadeiros, como mencionado anteriormente.

Vamos resolver esse problema de uma forma bem interessante! Primeiramente, vamos analisar a situação: um barbante completamente enrolado em uma lata cilíndrica de refrigerante com exatamente cinco voltas e completamente enrolado em uma lata cilíndrica de doce com apenas duas voltas. Isso significa que a circunferência da lata de refrigerante é igual a 5 vezes o comprimento do barbante e a circunferência da lata de doce é igual a 2 vezes o mesmo comprimento do barbante.

Já que a circunferência de uma lata cilíndrica é igual a 2 vezes pi vezes o raio (C = 2πr), podemos criar uma equação para representar a situação: 2πr1 = 5l e 2πr2 = 2l, onde r1 é o raio da lata de refrigerante, r2 é o raio da lata de doce e l é o comprimento do barbante.

Agora, vamos dividir a primeira equação pela segunda equação para encontrar a razão entre os raios. Fazendo isso, obtemos: (2πr1) / (2πr2) = (5l) / (2l). Simplificando, temos: r1 / r2 = 5/2.

Para encontrar a razão entre os raios, basta inverter a fração: r2 / r1 = 2/5. E é isso! A razão entre os raios da primeira lata com a segunda é de fato 2/5, que é a opção D).

É importante notar que a razão entre os raios não depende do comprimento do barbante, pois ele foi cancelado na divisão das equações. Além disso, a razão entre os raios não depende do valor de pi, pois ele também foi cancelado na divisão.

Essa é uma bela aplicação de conceitos básicos de geometria e álgebra para resolver um problema interessante. Espero que tenha ajudado a esclarecer a solução!

Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro

• A)é reduzido em 50%.
• B)aumenta em 50%.
• C)permanece o mesmo.
• D)é reduzido em 25%.

Vamos analisar o que acontece com o volume do cilindro quando o raio da base é reduzido pela metade e a altura é duplicada. O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr²h, onde V é o volume, π é a constante matemática approximately igual a 3,14, r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

Se o raio da base for reduzido pela metade, ou seja, se r for substituído por r/2, o volume do cilindro passará a ser V = π(r/2)²h. Expandido, isso se torna V = π(r²/4)h, o que equivale a V = πr²h/4.

Agora, se a altura for duplicada, ou seja, se h for substituído por 2h, o volume do cilindro passará a ser V = πr²(2h)/4. Simplificando, obtemos V = πr²h/2.

Compare agora o volume original V = πr²h com o volume novo V = πr²h/2. É fácil ver que o volume novo é metade do volume original. Portanto, a resposta certa é A) é reduzido em 50%.

É importante notar que, embora a altura tenha sido duplicada, o volume não aumentou como pode ter parecido à primeira vista. Isso ocorre porque a redução do raio da base pela metade teve um efeito mais significativo no volume do cilindro do que o aumento da altura.

Essa é uma lição importante em matemática: é necessário analisar cuidadosamente as transformações que ocorrem em um problema e não se deixar levar por intuições ou impressões superficiais.

Vamos calcular o volume das bolinhas de gude que foram jogadas dentro da jarra. Primeiramente, precisamos calcular o volume do suco dentro da jarra antes de Érica jogar as bolinhas.

O volume do suco é igual ao volume do cilindro com altura de 8cm e raio de 7cm. O volume do cilindro é dado pela fórmula:

V = π × r² × h

onde V é o volume do cilindro, π é uma constante aproximadamente igual a 3,14, r é o raio do cilindro e h é a altura do cilindro.

Substituindo os valores, temos:

V = 3,14 × 7² × 8 = 3,14 × 49 × 8 = 3,14 × 392 = 1232,48 cm³

Agora, precisamos calcular o volume total da jarra. O volume da jarra é igual ao volume do cilindro com altura de 25cm e raio de 7cm.

V = π × r² × h

onde V é o volume do cilindro, π é uma constante aproximadamente igual a 3,14, r é o raio do cilindro e h é a altura do cilindro.

Substituindo os valores, temos:

V = 3,14 × 7² × 25 = 3,14 × 49 × 25 = 3,14 × 1225 = 3913,75 cm³

O volume das bolinhas de gude que foram jogadas dentro da jarra é igual ao volume total da jarra menos o volume do suco.

V = 3913,75 - 1232,48 = 2681,27 cm³

Portanto, o volume das bolinhas de gude que foram jogadas dentro da jarra é de aproximadamente 2681,27 cm³.

Comparando com as opções, vemos que a opção D) 833p cm³ é a mais próxima do valor encontrado.

Logo, a resposta certa é a opção D) 833p cm³.

Uma garrafa de refrigerante é formada por um cilindro circular reto e por um tronco de cone circular. Os dois sólidos têm bases congruentes, e a base maior do tronco de cone coincide com uma das bases do cilindro. As dimensões internas da garrafa são tais que as bases circulares do cilindro citado têm raios que medem 5 cm, e a distância entre essas bases é de 10 cm. O refrigerante é acondicionado na garrafa até que se tenha um raio de 1 cm no círculo correspondente à superfície do líquido, quando a garrafa é colocada em posição tal que a base menor do tronco de cone fique na parte superior da garrafa, paralela à superfície da Terra. Nessa posição, a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 14 cm.

Em relação a essa garrafa e ao refrigerante nela armazenado, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

• O volume do refrigerante acondicionado na garrafa é maior que 850 mL. (C) CERTO
• O volume do refrigerante acondicionado na garrafa é menor que 800 mL. (E) ERRADO
• A altura da parte cilíndrica do refrigerante é maior que 9 cm. (V) VERDADEIRO
• A área da superfície do líquido é maior que 3,14 cm². (V) VERDADEIRO
• O volume do refrigerante acondicionado na garrafa é igual a 750 mL. (E) ERRADO
• A parte tronco-cônica do refrigerante tem altura menor que 5 cm. (V) VERDADEIRO

Para calcular o volume do refrigerante, é necessário calcular o volume do cilindro e do tronco de cone separadamente e, em seguida, somar os dois volumes. O volume do cilindro pode ser calculado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Substituindo os valores dados, temos V = π(5)²(9), pois a altura do cilindro é 9 cm (14 cm - 5 cm do tronco de cone). O volume do tronco de cone pode ser calculado pela fórmula V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), onde R é o raio da base maior, r é o raio da base menor e h é a altura do tronco de cone. Substituindo os valores dados, temos V = (1/3)π(5)(5² + 1² + 5*1). Somando os dois volumes, obtemos o volume total do refrigerante, que é de aproximadamente 910 mL, maior que 850 mL.

Portanto, o item (C) está correto. Além disso, o item (A) está errado, pois o volume do refrigerante é maior que 800 mL. O item (D) está correto, pois a área da superfície do líquido é igual a πr², que é igual a π(1)², que é maior que 3,14 cm². O item (E) está errado, pois o volume do refrigerante não é igual a 750 mL. O item (F) está correto, pois a altura da parte tronco-cônica do refrigerante é de 5 cm.