Questões Sobre Cilindro - Matemática - concurso

Uma garrafa de refrigerante é formada por um cilindro circular reto e por um tronco de cone circular. Os dois sólidos têm bases congruentes, e a base maior do tronco de cone coincide com uma das bases do cilindro. As dimensões internas da garrafa são tais que as bases circulares do cilindro citado têm raios que medem 5 cm, e a distância entre essas bases é de 10 cm. O refrigerante é acondicionado na garrafa até que se tenha um raio de 1 cm no círculo correspondente à superfície do líquido, quando a garrafa é colocada em posição tal que a base menor do tronco de cone fique na parte superior da garrafa, paralela à superfície da Terra. Nessa posição, a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 14 cm.

Em relação a essa garrafa e ao refrigerante nela armazenado, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

Quando o conteúdo da garrafa é suficiente apenas para encher a parte correspondente ao cilindro circular reto, seu volume é maior que três quartos de um litro.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Para resolver esse problema, precisamos calcular o volume do cilindro circular reto e verificar se ele é maior que três quartos de um litro. O volume do cilindro circular reto pode ser calculado pela fórmula:

V = π × r² × h

Onde V é o volume, π é uma constante aproximadamente igual a 3,14, r é o raio da base do cilindro e h é a altura do cilindro. No caso, o raio da base do cilindro é de 5 cm e a altura é de 10 cm. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

V = 3,14 × 5² × 10 = 785 cm³

Converter esse valor para litros, temos:

V = 785 cm³ / 1000 cm³/L = 0,785 L

Como três quartos de um litro é igual a 0,75 L, podemos concluir que o volume do cilindro circular reto é maior que três quartos de um litro. Portanto, a resposta certa é C) CERTO.

Agora, vamos analisar como o refrigerante se comporta em diferentes situações. Quais são as condições necessárias para que o refrigerante se mantenha líquido? Qual é o efeito da temperatura e da pressão sobre o estado físico do refrigerante? Como a forma da garrafa influencia no comportamento do refrigerante?

Essas são apenas algumas perguntas que podemos fazer ao analisar o problema. No entanto, para responder a essas perguntas, precisamos de conhecimentos mais avançados em física e química. O problema original apenas nos fornece informações sobre a forma da garrafa e a quantidade de refrigerante nela contida, mas não nos fornece informações suficientes para responder a essas perguntas.

Mas, mesmo assim, podemos tentar responder a essas perguntas de forma mais geral. Por exemplo, sabemos que o refrigerante é um líquido à temperatura ambiente, mas pode se tornar gasoso se a temperatura for alta o suficiente. Além disso, sabemos que a pressão também pode influenciar no estado físico do refrigerante. Se a pressão for alta o suficiente, o refrigerante pode se tornar líquido mesmo a temperatura alta.

A forma da garrafa também pode influenciar no comportamento do refrigerante. Por exemplo, se a garrafa tiver um formato mais estreito, o refrigerante pode se comportar de forma diferente do que em uma garrafa mais larga. Além disso, a forma da garrafa pode influenciar na forma como o refrigerante é distribuído dentro da garrafa.

Em resumo, embora o problema original seja relativamente simples, ele pode levar a uma discussão mais aprofundada sobre o comportamento do refrigerante em diferentes condições. E, quem sabe, pode inspirar uma pessoa a se tornar um físico ou químico para estudar esses fenômenos em mais detalhes.

Uma garrafa de refrigerante é formada por um cilindro circular reto e por um tronco de cone circular. Os dois sólidos têm bases congruentes, e a base maior do tronco de cone coincide com uma das bases do cilindro. As dimensões internas da garrafa são tais que as bases circulares do cilindro citado têm raios que medem 5 cm, e a distância entre essas bases é de 10 cm. O refrigerante é acondicionado na garrafa até que se tenha um raio de 1 cm no círculo correspondente à superfície do líquido, quando a garrafa é colocada em posição tal que a base menor do tronco de cone fique na parte superior da garrafa, paralela à superfície da Terra. Nessa posição, a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 14 cm.

Em relação a essa garrafa e ao refrigerante nela armazenado, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

• D) Com a garrafa na posição citada acima, a superfície do refrigerante tem área menor que 3 cm².
  • C) CERTO
  • E) ERRADO
• F) A altura do cilindro reto é maior que a altura do tronco de cone.
  • C) CERTO
  • E) ERRADO
• G) O volume do refrigerante é menor que o volume do cilindro reto.
  • C) CERTO
  • E) ERRADO
• H) A área da seção transversal do tronco de cone é maior que a área da seção transversal do cilindro reto.
  • C) CERTO
  • E) ERRADO
• I) A superfície do refrigerante é um círculo perfeito.
  • C) CERTO
  • E) ERRADO

Para resolver esses itens, é necessário utilizar conceitos de geometria e trigonometria. Em primeiro lugar, é preciso calcular a área da superfície do refrigerante. Para isso, podemos utilizar a fórmula da área do círculo, que é A = πr², onde A é a área e r é o raio do círculo. Nesse caso, o raio do círculo é de 1 cm, então a área da superfície do refrigerante é A = π(1)² = π cm². Como π é aproximadamente igual a 3,14, podemos concluir que a área da superfície do refrigerante é menor que 3 cm², o que torna o item D) ERRADO.

Para o item F), é necessário calcular a altura do cilindro reto e do tronco de cone. A altura do cilindro reto é igual à distância entre as bases do cilindro, que é de 10 cm. Já a altura do tronco de cone é igual à altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante, que é de 14 cm, menos a altura do cilindro reto, que é de 10 cm. Portanto, a altura do tronco de cone é de 4 cm. Como a altura do cilindro reto é maior que a altura do tronco de cone, o item F) é ERRADO.

Para o item G), é necessário calcular o volume do refrigerante e do cilindro reto. O volume do cilindro reto é igual à área da base do cilindro vezes a altura do cilindro, que é V = πr²h = π(5)²(10) = 250π cm³. Já o volume do refrigerante é igual ao volume do cilindro reto menos o volume do tronco de cone. O volume do tronco de cone é igual à área da base do tronco vezes a altura do tronco, que é V = (πr²h)/3 = (π(5)²(4))/3 = (400π)/3 cm³. Portanto, o volume do refrigerante é V = 250π - (400π)/3 = (550π)/3 cm³. Como o volume do refrigerante é menor que o volume do cilindro reto, o item G) é CERTO.

Para o item H), é necessário calcular a área da seção transversal do tronco de cone e do cilindro reto. A área da seção transversal do cilindro reto é igual à área da base do cilindro, que é A = πr² = π(5)² = 25π cm². Já a área da seção transversal do tronco de cone é igual à área da base do tronco, que é A = πr² = π(5)² = 25π cm². Como as áreas são iguais, o item H) é ERRADO.

Para o item I), é necessário analisar a forma da superfície do refrigerante. A superfície do refrigerante é um círculo, pois é a seção transversal do tronco de cone. Portanto, o item I) é CERTO.

Uma garrafa de refrigerante é formada por um cilindro circular reto e por um tronco de cone circular. Os dois sólidos têm bases congruentes, e a base maior do tronco de cone coincide com uma das bases do cilindro. As dimensões internas da garrafa são tais que as bases circulares do cilindro citado têm raios que medem 5 cm, e a distância entre essas bases é de 10 cm. O refrigerante é acondicionado na garrafa até que se tenha um raio de 1 cm no círculo correspondente à superfície do líquido, quando a garrafa é colocada em posição tal que a base menor do tronco de cone fique na parte superior da garrafa, paralela à superfície da Terra. Nessa posição, a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 14 cm.

Em relação a essa garrafa e ao refrigerante nela armazenado, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

O cone correspondente ao tronco de cone que forma a garrafa tem altura de 5 cm.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C). Agora, vamos analisar os demais itens para verificar se são verdadeiros ou falsos.

O próximo item é: a altura do cilindro é de 10 cm. Podemos verificar essa informação pela descrição da garrafa. Como a distância entre as bases do cilindro é de 10 cm, podemos concluir que a altura do cilindro é igual à distância entre as bases, ou seja, 10 cm. Portanto, o item é verdadeiro.

• A) CERTO
• B) ERRADO

O item seguinte é: o volume do refrigerante é igual ao volume do tronco de cone. Para analisar essa afirmação, precisamos calcular o volume do refrigerante e do tronco de cone. O volume do refrigerante é igual ao volume do cilindro mais o volume do tronco de cone. O volume do cilindro é igual a π × raio² × altura, e o volume do tronco de cone é igual a (1/3) × π × raio² × altura. Substituindo os valores, obtemos que o volume do refrigerante é diferente do volume do tronco de cone. Portanto, o item é falso.

• C) ERRADO
• D) CERTO

O próximo item é: a superfície do líquido é um círculo com raio de 1 cm. Essa afirmação é verdadeira, pois a descrição da garrafa indica que o refrigerante é acondicionado até que se tenha um raio de 1 cm no círculo correspondente à superfície do líquido.

• E) CERTO
• F) ERRADO

O item seguinte é: a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 15 cm. Essa afirmação é falsa, pois a descrição da garrafa indica que a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 14 cm.

• G) ERRADO
• H) CERTO

Por fim, o último item é: o tronco de cone é um sólido reto. Essa afirmação é falsa, pois o tronco de cone é um sólido não reto.

• I) ERRADO
• J) CERTO

Uma garrafa de refrigerante é formada por um cilindro circular reto e por um tronco de cone circular. Os dois sólidos têm bases congruentes, e a base maior do tronco de cone coincide com uma das bases do cilindro. As dimensões internas da garrafa são tais que as bases circulares do cilindro citado têm raios que medem 5 cm, e a distância entre essas bases é de 10 cm. O refrigerante é acondicionado na garrafa até que se tenha um raio de 1 cm no círculo correspondente à superfície do líquido, quando a garrafa é colocada em posição tal que a base menor do tronco de cone fique na parte superior da garrafa, paralela à superfície da Terra. Nessa posição, a altura total do sólido correspondente à forma tomada pelo refrigerante é de 14 cm.

Em relação a essa garrafa e ao refrigerante nela armazenado, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

A altura da parte do tronco de cone de bases paralelas tomada pelo refrigerante é 8 cm.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é E). Isso porque a altura total do refrigerante é de 14 cm, e a altura do cilindro é de 10 cm. Logo, resta 4 cm para a altura do tronco de cone. Além disso, como o raio da superfície do líquido é de 1 cm, e o raio da base do cilindro é de 5 cm, a altura do tronco de cone pode ser encontrada utilizando a fórmula da altura de um tronco de cone: h = (R - r) / (R / H), onde R é o raio maior, r é o raio menor, e H é a altura do tronco de cone. Substituindo os valores, temos: h = (5 - 1) / (5 / H), que nos dá h = 3 cm. Logo, a altura da parte do tronco de cone de bases paralelas tomada pelo refrigerante é de 3 cm, e não 8 cm.

Outro item que pode ser questionado é: Qual é o volume do refrigerante armazenado na garrafa? Para responder isso, é necessário encontrar o volume do cilindro e do tronco de cone. O volume do cilindro é dado por V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Substituindo os valores, temos V = π(5)²(10) = 250π cm³. Já o volume do tronco de cone é dado por V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), onde R é o raio maior, r é o raio menor, e h é a altura do tronco de cone. Substituindo os valores, temos V = (1/3)π(3)((5)² + (1)² + 5*1) = 27π cm³. Logo, o volume total do refrigerante é de 250π + 27π = 277π cm³.

Outra questão interessante é: Qual é a área da superfície do líquido em contato com a garrafa? Para responder isso, é necessário encontrar a área da superfície do líquido no cilindro e no tronco de cone. A área da superfície do líquido no cilindro é dada por A = 2πrh, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Substituindo os valores, temos A = 2π(1)(10) = 20π cm². Já a área da superfície do líquido no tronco de cone é dada por A = π(R² + r²), onde R é o raio maior e r é o raio menor. Substituindo os valores, temos A = π((5)² + (1)²) = 26π cm². Logo, a área total da superfície do líquido em contato com a garrafa é de 20π + 26π = 46π cm².

Vamos analisar melhor essa questão. O volume do cilindro circular reto é calculado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. Já o volume do cone circular reto é calculado pela fórmula V = (1/3)πr²h.

Como ambos têm a mesma altura e mesmo raio, podemos igualar as fórmulas e cancelar os termos comuns. Ficamos com:

V cilindro = πr²h

V cone = (1/3)πr²h

Agora, vamos comparar os volumes. Podemos dividir o volume do cilindro pelo volume do cone:

V cilindro / V cone = πr²h / ((1/3)πr²h)

Cancelando os termos comuns, obtemos:

V cilindro / V cone = 3

Portanto, o volume do cone é igual a 1/3 do volume do cilindro.

Essa razão pode ser escrita de várias formas, mas a resposta certa é D) terça parte do volume do cilindro.

É importante lembrar que, quando você tem duas figuras geométricas com a mesma altura e mesmo raio, o volume do cone sempre será 1/3 do volume do cilindro.

Essa regra pode ser útil em várias situações, então é bom gravá-la na memória.

Além disso, é fundamental entender a fórmula do volume do cone e do cilindro, pois essas figuras geométricas são muito comuns em problemas de matemática.

Se você tiver alguma dúvida sobre como calcular o volume de um cone ou cilindro, é só rever a fórmula e praticar alguns exercícios.

Com a prática, você irá se sentir cada vez mais seguro em resolver problemas de matemática envolvendo essas figuras geométricas.

Uma máquina de processar o açaí tem forma cilíndrica, com 24 cm de diâmetro. Para limpar essa máquina, seu proprietário utiliza 7,2 litros de água, atingindo, assim, um terço de sua capacidade. A altura dessa máquina é, aproximadamente, igual a :

• A)50 cm.
• B)45 cm.
• C)40 cm.
• D)35 cm.

Para encontrar a altura da máquina, precisamos calcular o volume da máquina e, em seguida, relacioná-lo à altura. O volume da máquina é igual ao produto da área da base pelo altura. Como a máquina tem forma cilíndrica, a área da base é igual a π vezes o raio ao quadrado.

Primeiramente, vamos calcular a área da base. O diâmetro da máquina é de 24 cm, então o raio é de 12 cm. Logo, a área da base é:

A = π × 12² = π × 144 = 452,39 cm²

Agora, vamos calcular o volume da máquina. Como o proprietário utiliza 7,2 litros de água para limpar a máquina, que é um terço da capacidade da máquina, o volume total da máquina é:

V = 3 × 7,2 litros = 21,6 litros = 21600 cm³

Como o volume é igual ao produto da área da base pela altura, podemos calcular a altura:

h = V / A = 21600 cm³ / 452,39 cm² = 47,73 cm

Portanto, a altura da máquina é aproximadamente igual a 50 cm, que é a opção A.

Foi utilizado o valor de π como 3,14159.

Em uma usina, um tanque A, com a forma de um cilindro reto, cujas medidas do raio da base e da altura são iguais a 2 m e 3,75 m, respectivamente, está completamente cheio com etanol. Todo o seu conteúdo será transferido para o tanque B através de uma válvula cuja vazão, constante, é de 0,12 m³ por minuto. Nessas condições, e usando π = 3, pode-se afirmar que o tempo necessário para esvaziar completamente o tanque A é, aproximadamente,

V_c = π . r² . h

Vamos calcular o volume do tanque A:

V_c = π . r² . h

V_c = 3 . 2² . 3,75

V_c = 3 . 4 . 3,75

V_c = 45 m³

Agora, podemos calcular o tempo necessário para esvaziar completamente o tanque A:

Tempo = V_c / Vazão

Tempo = 45 m³ / 0,12 m³/min

Tempo = 375 min

Convertendo o tempo para horas e minutos:

Tempo = 6 h 15 min

• A)5 h 30 min
• B)5 h 45 min.
• C)6 h 15 min.
• D)6 h 25 min.
• E)6 h 40 min.

Portanto, a resposta correta é C) 6 h 15 min.

Supondo as dimensões internas de cada pino plástico utilizado na embalagem de cocaína como sendo um cilindro de raio 0,5 cm e altura 4 cm, o valor do volume total de cocaína, desse pino plástico, completamente cheio, em cm³, será de:

(Adote o valor aproximado de π = 3 )

Vamos calcular o volume do cilindro:
V = π × r² × h
V = 3 × (0,5)² × 4
V = 3 × 0,25 × 4
V = 3 × 1
V = 3
Portanto, o valor do volume total de cocaína, desse pino plástico, completamente cheio, em cm³, será de 3.

• A)2,5
• B)3
• C)3,5
• D)4
• E)4,5

O gabarito correto é B) 3, pois o cálculo realizado acima mostrou que o volume do cilindro é de 3 cm³.

É importante notar que o valor de π foi aproximado para 3, o que é uma aproximação válida para problemas que não necessitam de uma precisão muito alta. Além disso, é fundamental ter cuidado ao realizar cálculos envolvendo volumes de cilindros, pois pequenos erros podem gerar resultados muito diferentes.

Para problemas que envolvem volumes de cilindros, é sempre recomendável verificar se as unidades estão corretas. Nesse caso, as unidades estão em centímetros cúbicos (cm³), o que é adequado para o problema.

Em resumo, o volume total de cocaína, desse pino plástico, completamente cheio, em cm³, é de 3, que é a opção B) do gabarito.

Vamos calcular a capacidade do primeiro copo. Sendo cilíndrico, sua capacidade é dada pela fórmula V = π × r² × h, onde V é a capacidade, π é uma constante aproximadamente igual a 3,14, r é o raio da base e h é a altura. No caso do primeiro copo, r = 3 cm e h = 12 cm. Substituindo os valores, obtemos V = π × 3² × 12 = aproximadamente 339,29 cm³.

No entanto, a água ocupava apenas 2/3 da capacidade do copo, portanto o volume de água é de 2/3 × 339,29 cm³ = aproximadamente 226,19 cm³.

Agora, vamos calcular a altura do segundo copo. Sendo também cilíndrico, sua capacidade é dada pela mesma fórmula. No caso do segundo copo, r = 4 cm e queremos encontrar h. Substituindo os valores e igualando a capacidade do segundo copo à quantidade de água que foi transferida, temos:

π × 4² × h = 226,19

16 × π × h = 226,19

h = 226,19 / (16 × π)

h ≈ 4,50 cm

Portanto, a altura atingida pela água no segundo copo é de aproximadamente 4,50 cm.

Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por:

• A)6
• B)9
• C)12
• D)18
• E)36

Vamos analisar essa questão passo a passo! O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = π × r² × h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

Se dobramos a altura do cilindro, o novo volume será V' = π × r² × 2h.

Agora, se triplicamos o raio da base, o novo raio será 3r. O novo volume será V'' = π × (3r)² × 2h = 18π × r² × h.

Comparando o volume inicial com o novo volume, vemos que o volume foi multiplicado por 18. Portanto, a resposta certa é D) 18.

Espero que isso tenha ajudado você a entender melhor a questão! Se tiver mais alguma dúvida, basta perguntar.