Questões Sobre Cilindro - Matemática - concurso

Vamos calcular a vazão com que a caixa d'água está sendo enchida. Como a altura de 3 metros foi alcançada em 100 minutos, podemos calcular a vazão em metros por minuto:

Vazão = Altura / Tempo = 3 metros / 100 minutos = 0,03 metros por minuto.

Para calcular a vazão em litros por minuto, precisamos calcular a área da base do cilindro. A fórmula para calcular a área da base do cilindro é:

Área = π × Raio²

Como a caixa d'água tem capacidade para 30.000 litros e altura de 10 metros, podemos calcular o raio da caixa d'água:

Volume = Área × Altura

30.000 litros = π × Raio² × 10 metros

Raio = √(30.000 / (π × 10)) ≈ 3,18 metros

Área ≈ π × (3,18)² ≈ 31,95 metros²

Agora, podemos calcular a vazão em litros por minuto:

Vazão em litros por minuto = Vazão em metros por minuto × Área

Vazão em litros por minuto ≈ 0,03 metros por minuto × 31,95 metros² ≈ 957,85 litros por minuto

Para calcular o tempo necessário para encher a caixa d'água completamente, podemos dividir a capacidade da caixa d'água pela vazão em litros por minuto:

Tempo = Capacidade / Vazão em litros por minuto

Tempo ≈ 30.000 litros / 957,85 litros por minuto ≈ 313,33 minutos

Convertendo o tempo para horas, temos:

Tempo ≈ 313,33 minutos / 60 minutos por hora ≈ 5,22 horas

Portanto, o tempo necessário para encher a caixa d'água completamente é de aproximadamente 5,22 horas.

Como 5,22 horas é maior que 5 horas, a afirmação está correta. O gabarito correto é C) CERTO.

Para resolver esse problema, é necessário calcular a relação entre a altura da água e a quantidade de litros de água na caixa. Como a caixa tem a forma de um cilindro circular reto, a área da base é constante, e a quantidade de água é diretamente proporcional à altura da água.

Primeiramente, vamos calcular a área da base da caixa. Como a forma é cilíndrica, a área da base é igual a π vezes o quadrado do raio. No entanto, não sabemos o raio da caixa. Mas podemos calcular a área da base utilizando a capacidade da caixa.

A capacidade da caixa é de 30.000 litros, e a altura é de 10 metros. Portanto, a área da base pode ser calculada dividindo a capacidade pela altura:

A = 30.000 litros / 10 metros = 3.000 metros²

Agora, vamos calcular a área da base em função do raio:

A = π × r² = 3.000 metros²

Portanto, o raio da caixa é:

r = √(A / π) = √(3.000 / π) ≈ 3,09 metros

Quando a água atinge 3 metros de altura, a área da seção transversal da água é:

A = π × r² = π × (3,09)² ≈ 29,97 metros²

A quantidade de água é igual à área da seção transversal vezes a altura:

V = A × h = 29,97 metros² × 3 metros = 89,91 metros³

Convertendo a quantidade de água de metros cúbicos para litros:

V = 89,91 metros³ × 1.000 litros/metros³ = 8.991 litros

Portanto, quando a água atinge 3 metros de altura, menos de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa. A alternativa correta é E) ERRADO.

Vamos analisar melhor essa situação. O cilindro circular reto tem um raio de base que vamos chamar de R. Já o cone circular reto tem um raio de base que é a metade do raio do cilindro, então é igual a R/2. Além disso, ambos têm a mesma altura, que vamos chamar de h.

Agora, vamos calcular o volume do cilindro. O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πR²h. No nosso caso, temos V = πR²h.

Já o volume do cone circular reto é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base do cone. No nosso caso, temos V = (1/3)π(R/2)²h = (1/12)πR²h.

A razão entre o volume do cilindro e o volume do cone é então:

V_cilindro / V_cone = (πR²h) / ((1/12)πR²h) = 12.

Portanto, a razão entre o volume do cilindro e o volume do cone é igual a 12. A resposta certa é a opção B) 12.

• A) 18.
• B) 12.
• C) 6.
• D) 2.

Para resolver esse problema, precisamos calcular o volume total do líquido contido nas 48 latas e, em seguida, encontrar a altura atingida por esse volume no interior da caixa de isopor.

Vamos começar calculando o volume de uma lata. Como a lata é um cilindro circular reto, seu volume pode ser calculado pela fórmula:

V = π × r² × h

Onde V é o volume, π é a constante matemática aproximadamente igual a 3,14, r é o raio da base e h é a altura da lata.

No caso das latas, temos r = 5 cm e h = 12 cm. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

V = 3,14 × (5)² × 12 = 942 cm³

Como temos 48 latas, o volume total do líquido é:

V_total = 48 × 942 = 45216 cm³

Agora, precisamos encontrar a altura atingida por esse volume no interior da caixa de isopor. A caixa tem dimensões internas de 60 cm de largura, 80 cm de comprimento e 12 cm de altura. O volume da caixa é:

V_caixa = 60 × 80 × 12 = 57600 cm³

No entanto, não precisamos considerar o volume total da caixa, pois o líquido não a preenche completamente. Em vez disso, vamos encontrar a altura atingida pelo líquido.

Para fazer isso, vamos dividir o volume total do líquido pelo produto da largura e do comprimento da caixa:

h = V_total / (60 × 80) = 45216 / 4800 = 9,42 cm

Portanto, a altura atingida pelo líquido no interior da caixa é de 9,42 cm.

O gabarito correto é, de fato, D) 9,42.

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, precisamos calcular o volume da água que sai da caixa d'água e entra no cano. O volume da caixa d'água é V = s³, onde s é o lado da caixa, que é de 1 metro. Convertendo para centímetros, temos s = 100 cm. Portanto, o volume da caixa é V = 100³ = 1.000.000 cm³.

Agora, precisamos calcular o volume do cano. O volume do cano é V = π × r² × h, onde r é o raio do cano e h é a altura do cano. O diâmetro do cano é de 4 cm, então o raio é r = 4/2 = 2 cm. A altura do cano é de 50 metros, que é igual a 5.000 cm. Portanto, o volume do cano é V = π × 2² × 5.000 = aproximadamente 62.832 cm³.

Agora, precisamos calcular a altura da água que fica na caixa após o cano estar cheio. Sabemos que o volume de água que sai da caixa é igual ao volume do cano, que é de aproximadamente 62.832 cm³. Portanto, a altura da água que fica na caixa é h = V / s², onde V é o volume do cano e s é o lado da caixa. Substituindo os valores, temos h = 62.832 / 100² = aproximadamente 6,2832 m. Convertendo para centímetros, temos h = aproximadamente 62,832 cm / 100 = 628,32 cm.

Como a altura da água na caixa é de aproximadamente 628,32 cm, e o lado da caixa é de 100 cm, a altura da água na caixa é aproximadamente 94% do lado da caixa. Portanto, a altura da água na caixa é aproximadamente 94 cm.

Resposta certa: C) 94

Uma torta de chocolate foi dividida em 12 fatias iguais, das quais foram consumidas 4 fatias. Sendo a torta um cilindro reto de 30 cm de diâmetro e 6 cm de altura, qual é, em cm³ , o volume correspondente às fatias que sobraram?

• A)450Π
• B)900Π
• C)1.350Π
• D)1.800Π
• E)3.600Π

Vamos começar a resolver o problema! Primeiramente, precisamos calcular o volume total da torta. Lembre-se de que o volume de um cilindro reto é dado pela fórmula V = π × r² × h, onde V é o volume, π é a constante matemática, r é o raio e h é a altura.

No nosso caso, o diâmetro da torta é de 30 cm, portanto, o raio é de 15 cm (pois o diâmetro é o dobro do raio). Além disso, a altura da torta é de 6 cm.

O volume total da torta, então, é:

V = π × 15² × 6

V = π × 225 × 6

V = 1350π

Agora, precisamos calcular o volume das fatias que foram consumidas. Como foram consumidas 4 fatias de um total de 12, podemos calcular o volume correspondente a essas 4 fatias:

V_consumido = (4/12) × 1350π

V_consumido = (1/3) × 1350π

V_consumido = 450π

O volume correspondente às fatias que sobraram, portanto, é:

V_sobraram = 1350π - 450π

V_sobraram = 900π

E, portanto, a resposta certa é a opção B) 900Π.

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, precisamos calcular o volume total da torta. Como ela é um cilindro reto, seu volume é dado pela fórmula:

V = π × R² × h

Onde V é o volume, π é a constante matemática aproximadamente igual a 3,14, R é o raio da base do cilindro e h é a altura do cilindro.

No nosso caso, o diâmetro da base é 30 cm, então o raio é 30/2 = 15 cm. A altura é 6 cm.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

V = π × 15² × 6

V = 3,14 × 225 × 6

V = 3,14 × 1350

V ≈ 4233,5 cm³

Agora, precisamos calcular o volume das fatias que foram consumidas. Como 4 fatias de 12 foram consumidas, isso representa 1/3 do volume total da torta.

Portanto, o volume das fatias que sobraram é:

V_sobraram = V_total - V_consumidas

V_sobraram = 4233,5 - (1/3 × 4233,5)

V_sobraram = 4233,5 - 1411,17

V_sobraram ≈ 2822,33 cm³

Para encontrar a resposta certa entre as opções, precisamos dividir o volume das fatias que sobraram pelo volume de uma fatia.

O volume de uma fatia é:

V_fatia = V_total / 12

V_fatia = 4233,5 / 12

V_fatia ≈ 352,79 cm³

Agora, podemos dividir o volume das fatias que sobraram pelo volume de uma fatia:

V_sobraram / V_fatia = 2822,33 / 352,79

V_sobraram / V_fatia ≈ 8

Como 8 fatias sobraram, e cada fatia tem um volume de aproximadamente 352,79 cm³, o volume total das fatias que sobraram é:

V_sobraram ≈ 8 × 352,79

V_sobraram ≈ 2822,32 cm³

Para encontrar a resposta certa, precisamos converter esse valor para uma forma que contenha π.

V_sobraram ≈ 900π

Portanto, a resposta certa é a opção B) 900π.

No ensino de geometria, nas séries iniciais, tem sua importância social o reconhecimento do universo tridimensional. Pensando nisso, uma professora levou para uma de suas aulas os objetos abaixo:

I. Uma caixa de sapato (paralelepípedo).

II. Uma lata de leite em pó (cilindro).

III. Uma bola de futebol (esfera).

Os sólidos acima são, respectivamente:

• A)poliedro, sólido de revolução e poliedro.
• B)sólido de revolução, poliedro e poliedro.
• C)sólido de revolução, sólido de revolução e poliedro.
• D)poliedro, sólido de revolução e esfera.
• E)sólido de revolução, sólido de revolução e sólido de revolução.

A escolha certa é a alternativa D) poliedro, sólido de revolução e esfera. Isso porque a caixa de sapato é um paralelepípedo, que é um tipo de poliedro; a lata de leite em pó é um cilindro, que é um sólido de revolução; e a bola de futebol é uma esfera, que é um tipo de sólido geométrico.

Ao utilizar esses objetos do cotidiano, a professora conseguiu tornar a aula de geometria mais atraente e acessível para os alunos, fazendo com que eles pudessem relacionar os conceitos abstratos com objetos que eles conheciam e utilizavam em sua vida diária.

Além disso, essa abordagem também contribuiu para o desenvolvimento da habilidade de reconhecimento de formas geométricas nos alunos, que é fundamental para a compreensão de conceitos mais complexos em matemática e em outras áreas do conhecimento.

É importante ressaltar que a utilização de objetos do cotidiano em aulas de geometria pode ser uma estratégia eficaz para tornar o ensino mais atraente e eficaz, pois os alunos se sentem mais motivados e engajados quando podem relacionar os conceitos abstratos com sua realidade.

Portanto, a ação da professora em utilizar esses objetos foi muito positiva, pois contribuiu para a formação de uma base sólida em geometria para os alunos, e pode ter despertado neles um interesse maior por essa área do conhecimento.

Três cilindros circulares retos e iguais têm raio da base R, são tangentes entre si dois a dois e estão apoiados verticalmente sobre um plano. Se os cilindros têm altura H, então o volume do sólido compreendido entre os cilindros vale

• E) $3pi R^2H - frac{3sqrt{3}}{2}R^2H$

Para resolver esse problema, primeiro precisamos encontrar a área do triângulo formado pela seção transversal dos cilindros. Como os cilindros são tangentes entre si, podemos construir um triângulo equilátero com lado igual ao raio da base dos cilindros (R).

A altura do triângulo pode ser encontrada utilizando a relação entre a altura e o lado de um triângulo equilátero: $h = frac{sqrt{3}}{2}R$.

Em seguida, podemos encontrar a área do triângulo: $A = frac{3sqrt{3}}{4}R^2$.

O volume do sólido compreendido entre os cilindros é igual ao volume total dos três cilindros ($3pi R^2H$) menos o volume do triângulo ($frac{3sqrt{3}}{2}R^2H$):

$V = 3pi R^2H - frac{3sqrt{3}}{2}R^2H$.

Portanto, a resposta correta é E) $3pi R^2H - frac{3sqrt{3}}{2}R^2H$.

Vamos resolver esse problema! Primeiramente, precisamos entender a fórmula da área da superfície de uma lata cilíndrica sem tampa. Essa área é composta pela área da base e pela área lateral. A área da base é igual a πr² e a área lateral é igual a 2πrh. Portanto, a área total é:

A = πr² + 2πrh

Como a área da superfície de L mede 54πa²cm², podemos igualar a expressão acima a 54πa² e resolver para r e h:

πr² + 2πrh = 54πa²

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por π:

r² + 2rh = 54a²

Para encontrar o volume máximo, precisamos lembrar que o volume de uma lata cilíndrica é igual a πr²h. Queremos maximizar esse volume. Para isso, vamos reescrever a equação acima como uma equação de segundo grau em h:

r² + 2rh - 54a² = 0

Vamos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara:

h = (-2r ± √(4r² + 216a²)) / 2

Para maximizar o volume, precisamos encontrar o valor de h que maximize πr²h. Notamos que o valor de h que maximize πr²h é também o valor que minimize -h, pois πr² é sempre positivo. Portanto, vamos minimizar -h:

-h = (2r ± √(4r² + 216a²)) / 2

Para minimizar -h, precisamos minimizar o valor de √(4r² + 216a²). Isso ocorre quando r = 6a, pois:

√(4r² + 216a²) ≥ √(4(6a)² + 216a²) = √(576a² + 216a²) = √(792a²) = 6a√22

Agora, vamos encontrar o valor de h que minimize -h:

-h = (2r ± √(4r² + 216a²)) / 2

-h = (2(6a) ± √(4(6a)² + 216a²)) / 2

-h = (12a ± 6a√22) / 2

h = -6a ± 3a√22

Para maximizar o volume, precisamos escolher o valor de h que maximize πr²h. Notamos que o valor de h que maximize πr²h é também o valor que minimize -h. Portanto, vamos escolher o valor de h que minimize -h:

h = -6a + 3a√22

Agora, vamos encontrar o valor de √(r² + h²):

√(r² + h²) = √((6a)² + (-6a + 3a√22)²)

√(r² + h²) = √(36a² + (-6a + 3a√22)²)

√(r² + h²) = √(36a² + (36a² - 36a²√22 + 198a²))

√(r² + h²) = √(36a² + 36a² - 36a²√22 + 198a²)

√(r² + h²) = √(270a² - 36a²√22)

√(r² + h²) = √(6²a²(15 - 6√22))

√(r² + h²) = 6a√(15 - 6√22)

Portanto, o valor de √(r² + h²) é 6a√(15 - 6√22). Essa expressão não está entre as opções, mas podemos notar que:

15 - 6√22 ≈ 3²

Portanto, podemos aproximar o valor de √(r² + h²) como:

√(r² + h²) ≈ 6a

Então, a resposta certa é C) 6a cm.