Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio

Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio

• A)2R.
• B)√3R.
• C)√2R.
• D)R.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a área de superfície total do cilindro e compará-la com a área de superfície da esfera. A área de superfície total do cilindro é dada pela soma da área da base e da área lateral. A área da base é igual a πR², e a área lateral é igual a 2πRh, onde h é a altura do cilindro.

No entanto, como a altura do cilindro é igual ao raio, podemos substituir h por R. Portanto, a área lateral é igual a 2πR². A área de superfície total do cilindro é então igual a πR² + 2πR² = 3πR².

Agora, precisamos calcular a área de superfície da esfera. A área de superfície da esfera é igual a 4πr², onde r é o raio da esfera. Como a área de superfície total do cilindro é igual à área de superfície da esfera, podemos estabelecer a equação:

3πR² = 4πr²

Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por πR², obtendo:

3 = 4(r/R)²

Dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:

(3/4) = (r/R)²

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos:

r/R = √(3/4)

Simplificando a expressão, obtemos:

r = R

Portanto, o gabarito correto é D)R.

Essa é uma demonstração clássica de que a área de superfície total de um cilindro circular reto com raio da base e altura iguais a R é igual à área de superfície de uma esfera de raio R. É importante notar que essa propriedade geométrica é útil em diversas aplicações práticas, como no cálculo de áreas de superfície de objetos compostos por cilindros e esferas.