Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do tambor é fixada em 36π dm2 , o volume máximo que esse tambor pode ter é, em dm3 , igual a

Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do tambor é fixada em 36π dm² , o volume máximo que esse tambor pode ter é, em dm³ , igual a

• Vamos começar calculando a área total da superfície do tambor. A superfície do tambor é composta pela área lateral e pelas áreas das bases. A área lateral é igual a 2πrh, onde r é o raio e h é a altura do tambor. As áreas das bases são iguais a πr² cada. Portanto, a área total da superfície do tambor é dada por:
• A = 2πrh + 2πr² = 36π
• Agora, precisamos encontrar o volume máximo do tambor. O volume do tambor é igual a V = πr²h. Para encontrar o volume máximo, precisamos encontrar o valor de r e h que maximize o volume.
• Para isso, vamos reescrever a equação da área total em função de r e h:
• 2πrh + 2πr² = 36π
• h = (36π - 2πr²) / (2πr)
• Agora, podemos escrever o volume do tambor em função de r:
• V = πr²h = πr²((36π - 2πr²) / (2πr)) = (36πr - 2πr³) / 2
• Para encontrar o valor de r que maximize o volume, precisamos encontrar o valor de r que faça a derivada do volume em relação a r seja igual a zero:
• dV/dr = (36π - 6πr²) / 2 = 0
• 36π - 6πr² = 0
• r² = 6
• r = √6
• Agora, podemos encontrar o valor de h:
• h = (36π - 2π(√6)²) / (2π(√6)) = 3√6
• O volume máximo do tambor é, portanto, igual a:
• V = π(√6)²(3√6) = 18π(√6) = 36√6
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