Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

Para entender por que a altura do cone não pode ser de 120 centímetros, vamos analisar as fórmulas dos volumes da esfera e do cone.

Vamos analisar as informações fornecidas sobre as garrafas e os recipientes. Primeiramente, temos que as garrafas cilíndricas e as garrafas cônicas têm a mesma altura e suas bases têm o mesmo raio das garrafas esféricas. Além disso, sabemos que Pedro comprou 5 garrafas cônicas, uma garrafa esférica e duas garrafas cilíndricas para encher totalmente um recipiente cúbico de aresta igual a 2 π cm.

Podemos calcular o volume do recipiente cúbico de Pedro utilizando a fórmula do volume do cubo (V = a³), onde "a" é a aresta do cubo. Substituindo o valor da aresta, temos:

V = (2 π)³ = 8π³ cm³

Já Paulo adquiriu duas garrafas cônicas, 4 garrafas esféricas e uma garrafa cilíndrica para encher totalmente um recipiente cilíndrico com 8 cm de altura e raio da base igual a π cm. Podemos calcular o volume do recipiente cilíndrico de Paulo utilizando a fórmula do volume do cilindro (V = πr²h), onde "r" é o raio da base e "h" é a altura do cilindro. Substituindo os valores, temos:

V = π(π)²(8) = 8π³ cm³

Observamos que o volume do recipiente de Pedro é igual ao volume do recipiente de Paulo.

Agora, vamos analisar a situação proposta no item. Se Pedro tiver comprado um recipiente maior, cujo volume a mais é igual à metade de 40% do volume total do novo recipiente, podíamos calcular o volume do novo recipiente. No entanto, não temos informações suficientes para fazer essa calculo.

Podemos tentar encontrar uma relação entre o volume do recipiente antigo e o volume do novo recipiente, mas não há como saber exatamente qual é essa relação. Além disso, não há nenhuma garantia de que o volume do novo recipiente seja maior que 10π³ cm³.

Portanto, não é possível afirmar com certeza que o volume do recipiente novo é maior que 10π³ cm³. Assim, a resposta certa é:

Vamos analisar o problema apresentado. Temos um cone com volume igual a 40 cm³. Para calcular o volume de um cone, utilizamos a fórmula V = (1/3) × A × h, onde A é a área da base e h é a altura do cone. Como o volume é de 40 cm³, podemos montar uma equação para encontrar a altura do cone em função da área da base.

Suponha que a área da base seja x. Então, a equação fica: 40 = (1/3) × x × h. Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos: 120 = x × h. Agora, precisamos encontrar a altura do cone em função da área da base.

Agora, vamos analisar o cubo. Se o volume do cubo for igual ao do cone, ou seja, 40 cm³, então podemos calcular a aresta do cubo. O volume do cubo é calculado elevando a aresta ao cubo (V = a³). Portanto, 40 = a³. Para encontrar a aresta do cubo, precisamos calcular a raiz cúbica de 40, que é aproximadamente 3,42.

O problema pergunta se o comprimento da aresta do cubo é um número racional. Um número racional é um número que pode ser expresso como um quociente de dois inteiros, como 3/4 ou 22/7. Já vimos que a aresta do cubo é aproximadamente 3,42, que não é um número racional.

Portanto, a resposta certa é E) ERRADO. O comprimento da aresta do cubo não é um número racional.

Para entendermos melhor a afirmação, vamos analisar o problema passo a passo. Primeiramente, precisamos calcular o volume da casquinha de sorvete em forma de cone circular reto. O volume de um cone circular reto é dado pela fórmula:

V = (πr2h) / 3

No caso, o raio da casquinha é r e a altura é também r, portanto:

V = (πr2r) / 3

Agora, precisamos calcular o volume da semiesfera que cabe dentro da casquinha. O volume de uma semiesfera é dado pela fórmula:

V = (2πr3) / 3

No caso, o raio da semiesfera é 2r/3, portanto:

V = (2π(2r/3)3) / 3

Simplificando a expressão, obtemos:

V = 32πr3/81

Agora, precisamos calcular o volume do chocolate necessário para preencher a casquinha. Isso equivale ao volume total da casquinha menos o volume da semiesfera:

V = (πr2r) / 3 - 32πr3/81

Simplificando a expressão, obtemos:

V = 11πr3/81

Portanto, é correto afirmar que o volume de chocolate necessário para preencher o espaço dentro da casquinha de modo a satisfazer essa condição é igual a 11πr3/81.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é, de fato, C).

Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:

• A)2V.
• B)4V.
• C)πV.
• D)2V2.
• E)V3.

Para resolver essa questão, é fundamental entender como o volume de um cone é calculado. O volume de um cone é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura do cone.

No caso da questão, o volume do primeiro cone é V, e como o diâmetro da base é d, o raio da base é d/2. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

V = (1/3)π(d/2)²h

Agora, para encontrar o volume do segundo cone, precisamos calcular o volume de um cone com a mesma altura h e diâmetro da base 2d. O raio da base do segundo cone é, portanto, 2d/2 = d. Substituindo esse valor na fórmula, temos:

V2 = (1/3)π(d)²h

Comparando as duas fórmulas, podemos ver que:

V2 = 4 × (1/3)π(d/2)²h = 4V

Portanto, o volume do segundo cone é 4V, que é a opção B).

Essa questão é um exemplo clássico de como a compreensão da fórmula do volume de um cone pode ser usada para resolver problemas mais complexos. É fundamental lembrar que o volume de um cone é proporcional ao quadrado do raio da base, o que explica porque o volume do segundo cone é quatro vezes o volume do primeiro.

Para calcular o volume do cone, precisamos primeiro calcular o raio da base. Como a circunferência é igual a 2 vezes π vezes o raio, podemos escrever:

C = 2πr

onde C é a circunferência e r é o raio. Substituindo os valores dados, temos:

28,26 = 2 × 3,14 × r

Dividindo ambos os lados por 2 × 3,14, obtemos:

r = 4,5 cm

Agora, podemos calcular o volume do cone utilizando a fórmula:

V = (1/3)πr²h

onde V é o volume, r é o raio e h é a altura. Substituindo os valores, temos:

V = (1/3) × 3,14 × (4,5)² × 10

V ≈ 211,95 cm³

Portanto, a resposta correta é a opção D) 211,95 cm³.