A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, é o setor de um círculo que subtende um arco cujo comprimento é 6 π metros. Se a medida do raio deste círculo é 5 metros, então, a medida do volume do cone é

A superfície lateral de um cone circular reto,
quando planificada, é o setor de um círculo que
subtende um arco cujo comprimento é 6 π metros.
Se a medida do raio deste círculo é 5 metros, então,
a medida do volume do cone é

A)10 π m3.
B)12 π m3.
C)9 π m3.
D)11 π m3.

Resposta:

A alternativa correta é B)

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o volume de um cone circular reto é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura do cone. No entanto, precisamos encontrar a altura do cone primeiro.

Como a superfície lateral do cone, quando planificada, é um setor de um círculo que subtende um arco de comprimento 6 π metros, e o raio do círculo é 5 metros, podemos usar a fórmula do comprimento do arco de um círculo para encontrar a medida do ângulo central do setor.

A fórmula do comprimento do arco de um círculo é s = θr, onde s é o comprimento do arco, θ é a medida do ângulo central em radianos e r é o raio do círculo. Substituindo os valores dados, temos:

6 π = θ × 5

Portanto, θ = 6 π / 5.

Agora, podemos usar a fórmula da altura do cone em função do raio e do ângulo de inclinação. A fórmula é h = r / tan(θ/2), onde h é a altura do cone, r é o raio da base do cone e θ é a medida do ângulo de inclinação.

Substituindo os valores, temos:

h = 5 / tan(6 π / 10)

h = 5 / tan(3 π / 5)

h = 5 / (√(25-9)/5)

h = 5 / (√16/5)

h = 5 / (4/5)

h = 25/4

Agora que encontramos a altura do cone, podemos usar a fórmula do volume do cone para encontrar o volume.

V = (1/3)πr²h

V = (1/3)π(5)²(25/4)

V = (1/3)π(25)(25/4)

V = (1/3)π(625/4)

V = (1/3) × π × 625/4

V = (625/12)π

V = 12 π

Portanto, a resposta certa é B) 12 π m³.

A) 10 π m³.
B) 12 π m³.
C) 9 π m³.
D) 11 π m³.

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A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, é o setor de um círculo que subtende um arco cujo comprimento é 6 π metros. Se a medida do raio deste círculo é 5 metros, então, a medida do volume do cone é

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