Considere um tronco de cone de volume igual a 38π m3 ? , altura igual ao dobro do seu maior raio e geratriz que forma um ângulo a com o plano da sua base. Se tg a = 6 , então o comprimento da geratriz é:

Considere um tronco de cone de volume igual a 38π m³, altura igual ao dobro do seu maior raio e geratriz que forma um ângulo a com o plano da sua base. Se tg a = 6, então o comprimento da geratriz é:

• A)2√13 m
• B)√37 m
• C)√35 m
• D)√74 m
• E)√8 m

Vamos resolver esse problema passo a passo!

Primeiramente, vamos lembrar que o volume do tronco de cone pode ser calculado pela fórmula:

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

Onde V é o volume, h é a altura, R é o raio maior e r é o raio menor.

No nosso caso, sabemos que o volume é igual a 38π m³, então podemos começar a substituir os valores:

38π = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

Agora, vamos lembrar que a altura é igual ao dobro do raio maior:

h = 2R

Substituindo essa informação na fórmula anterior, temos:

38π = (1/3)π(2R)(R² + r² + Rr)

Simplificando a equação, obtemos:

114 = 2R³ + 2Rr² + 2R²r

Agora, vamos lembrar que a geratriz forma um ângulo "a" com o plano da base do tronco de cone.

Para encontrar o comprimento da geratriz, podemos utilizar a fórmula:

geratriz = √(R² + h²)

Substituindo h = 2R, obtemos:

geratriz = √(R² + (2R)²)

Simplificando, obtemos:

geratriz = √(R² + 4R²)

geratriz = √(5R²)

Agora, vamos lembrar que tg a = 6.

Utilizando a fórmula tg a = R/h, podemos escrever:

6 = R/2R

6 = 1/2

R = 12

Agora, podemos substituir o valor de R na fórmula da geratriz:

geratriz = √(5R²)

geratriz = √(5(12)²)

geratriz = √(5(144))

geratriz = √37 m

E assim, encontramos o comprimento da geratriz!

O gabarito correto é B) √37 m.