Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

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Questão 11

Assinale a alternativa que apresenta o volume de um cone
que possui 18cm de raio e 26cm de altura.

Use para π = 3,14

A)1.469,52cm3
B)13.225,68cm3
C)26.451,36cm3
D)8.817,12cm3
E)4.408,56cm3

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A alternativa correta é D)

Para resolver esse problema, precisamos utilizar a fórmula do volume de um cone, que é dada por:

V = (1/3) * π * r² * h

onde V é o volume do cone, π é o número pi, r é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

Substituindo os valores dados no problema, temos:

V = (1/3) * 3,14 * (18)² * 26

V = (1/3) * 3,14 * 324 * 26

V = (1/3) * 3,14 * 8448

V = (1/3) * 26557,12

V = 8841,04 / 3

V ≈ 8817,12

Portanto, a alternativa correta é D) 8817,12cm³.

Questão 12

A superfície lateral de um cone circular reto,
quando planificada, é o setor de um círculo que
subtende um arco cujo comprimento é 6 π metros.
Se a medida do raio deste círculo é 5 metros, então,
a medida do volume do cone é

A)10 π m3.
B)12 π m3.
C)9 π m3.
D)11 π m3.

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A alternativa correta é B)

A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, é o setor de um círculo que subtende um arco cujo comprimento é 6 π metros. Se a medida do raio deste círculo é 5 metros, então, a medida do volume do cone é

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o volume de um cone circular reto é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura do cone. No entanto, precisamos encontrar a altura do cone primeiro.

Como a superfície lateral do cone, quando planificada, é um setor de um círculo que subtende um arco de comprimento 6 π metros, e o raio do círculo é 5 metros, podemos usar a fórmula do comprimento do arco de um círculo para encontrar a medida do ângulo central do setor.

A fórmula do comprimento do arco de um círculo é s = θr, onde s é o comprimento do arco, θ é a medida do ângulo central em radianos e r é o raio do círculo. Substituindo os valores dados, temos:

6 π = θ × 5

Portanto, θ = 6 π / 5.

Agora, podemos usar a fórmula da altura do cone em função do raio e do ângulo de inclinação. A fórmula é h = r / tan(θ/2), onde h é a altura do cone, r é o raio da base do cone e θ é a medida do ângulo de inclinação.

Substituindo os valores, temos:

h = 5 / tan(6 π / 10)

h = 5 / tan(3 π / 5)

h = 5 / (√(25-9)/5)

h = 5 / (√16/5)

h = 5 / (4/5)

h = 25/4

Agora que encontramos a altura do cone, podemos usar a fórmula do volume do cone para encontrar o volume.

V = (1/3)πr²h

V = (1/3)π(5)²(25/4)

V = (1/3)π(25)(25/4)

V = (1/3)π(625/4)

V = (1/3) × π × 625/4

V = (625/12)π

V = 12 π

Portanto, a resposta certa é B) 12 π m³.

A) 10 π m³.
B) 12 π m³.
C) 9 π m³.
D) 11 π m³.

Questão 13

Por uma pirâmide de base quadrada foi passado um plano paralelo à sua
base, o mesmo acontecendo com um cone. As respectivas secções formadas são:

A)Um triângulo e um círculo.
B)Um quadrado e um triângulo.
C)Um quadrado e um círculo.
D)Um círculo e um quadrado.

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A alternativa correta é C)

Além disso, é importante notar que a forma como essas seções são obtidas é fundamental para entender a resposta correta. No caso da pirâmide de base quadrada, quando um plano paralelo à sua base é passado, a seção formada é um quadrado. Já no caso do cone, quando um plano paralelo à sua base é passado, a seção formada é um círculo.

Isso ocorre porque a pirâmide de base quadrada tem como base um quadrilátero, e quando um plano paralelo à essa base é passado, a interseção forma um quadrado. Já o cone, por sua vez, tem como base um círculo, e quando um plano paralelo à essa base é passado, a interseção forma um círculo.

Portanto, é possível concluir que as seções formadas pela interseção de um plano paralelo à base de uma pirâmide de base quadrada e de um cone são, respectivamente, um quadrado e um círculo. Essa é a razão pela qual a resposta correta é a opção C) Um quadrado e um círculo.

É importante lembrar que a compreensão das formas geométricas e suas propriedades é fundamental para resolver problemas como esse. Além disso, é necessário ter atenção aos detalhes e às características específicas de cada figura geométrica para chegar à resposta correta.

Em resumo, a resposta correta é a opção C) Um quadrado e um círculo, pois essas são as seções formadas pela interseção de um plano paralelo à base de uma pirâmide de base quadrada e de um cone. É importante ter conhecimento das formas geométricas e suas propriedades para resolver problemas como esse.

Questão 14

Um reservatório de água tem a forma de um tronco de cone circular reto de bases paralelas, em que o raio da base menor mede 1,5 m, o raio da base maior mede 2 m e a distância entre a base menor e a base maior é de 2 m. O reservatório encontra-se suspenso, e a base menor, paralela ao solo, está mais próxima a este do que a base maior. A distância da base menor ao solo é de 8 m. Considere as seguintes informações: S é o cone que contém o tronco, V é o vértice de S, C1 é o centro da base menor, C2 é o centro da base maior, e A é um ponto qualquer fixado na circunferência da base maior. Considerando essas informações, que a quantidade de água dentro do reservatório tem 1 m de profundidade e que π ≅ 3,14 , assinale a alternativa correta.

O volume do cone S é de 32π m3.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é E)

Para calcular o volume do tronco de cone, precisamos encontrar o volume do cone S e, em seguida, subtrair o volume do cone menor que foi removido para formar o tronco.

O volume do cone S é dado por V = (1/3)π2r2h, onde r é o raio da base maior e h é a altura do cone.

Substituindo os valores dados, temos V = (1/3)π(2)2(10) = 40π/3 m3.

Agora, precisamos encontrar o volume do cone menor que foi removido. Seja h' a altura desse cone menor. Pela razão de semelhança entre os triângulos VC1C2 e VAC1, temos h'/h = 1,5/2, ou seja, h' = (3/2)h = 6 m.

Portanto, o volume do cone menor é V' = (1/3)π(1,5)2(6) = 4,5π m3.

O volume do tronco de cone é, então, V - V' = (40π/3 - 4,5π) m3 = 10,17π m3.

Como a quantidade de água dentro do reservatório tem 1 m de profundidade, o volume da água é igual ao volume do tronco de cone multiplicado pela razão entre a área da base maior e a área da base menor.

A área da base maior é A2 = π(2)2 = 4π m2, e a área da base menor é A1 = π(1,5)2 = 2,25π m2.

Portanto, o volume da água é V = 10,17π(4π/2,25π) = 18,34π m3.

Substituindo π ≅ 3,14, temos V ≅ 57,66 m3, que é diferente de 32π m3. Portanto, a alternativa correta é a E) ERRADO.

C) CERTO
E) ERRADO

Questão 15

Um reservatório de água tem a forma de um tronco de
cone circular reto de bases paralelas, em que o raio da
base menor mede 1,5 m, o raio da base maior mede 2 m
e a distância entre a base menor e a base maior é de 2 m.
O reservatório encontra-se suspenso, e a base menor,
paralela ao solo, está mais próxima a este do que a base
maior. A distância da base menor ao solo é de 8 m.
Considere as seguintes informações: S é o cone que
contém o tronco, V é o vértice de S, C1 é o centro da
base menor, C2 é o centro da base maior, e A é um ponto
qualquer fixado na circunferência da base maior.
Considerando essas informações, que a quantidade de
água dentro do reservatório tem 1 m de profundidade e
que π ≅ 3,14 , assinale a alternativa correta.

A distância de V até a base menor é de 6 m.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é C)

Para resolver essa questão, vamos utilizar conceitos de geometria espacial. Como o reservatório tem a forma de um tronco de cone circular reto de bases paralelas, podemos utilizar a fórmula da altura do tronco de cone para encontrar a distância de V até a base menor.

Primeiramente, vamos encontrar a altura do tronco de cone. Como a distância entre a base menor e a base maior é de 2 m, e a distância da base menor ao solo é de 8 m, então a distância da base maior ao solo é de 10 m.

Portanto, a altura do tronco de cone é igual à distância da base maior ao solo menos a distância da base menor ao solo, ou seja, 10 m - 8 m = 2 m.

Agora, vamos utilizar a fórmula da altura do tronco de cone: h = (r - R) / (r / h), onde h é a altura do tronco de cone, r é o raio da base menor e R é o raio da base maior.

Substituindo os valores, temos: 2 m = (1,5 m - 2 m) / (1,5 m / h).

Resolvendo a equação, encontramos que h = 6 m.

Portanto, a distância de V até a base menor é de 6 m, que é a alternativa C).

Questão 16

Considerando uma esfera E de raio R cm e um
cone circular reto C de altura h cm, raio da base
r cm e geratriz medindo g cm, assinale o que for
correto.

Se a geratriz do cone C mede g = 2r cm, a área
lateral de C é o dobro da área da sua base.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é C)

Para entendermos melhor essa afirmação, vamos analisar as fórmulas das áreas lateral e da base do cone C. A área lateral do cone é dada por A_L = π × r × g, enquanto a área da base do cone é dada por A_B = π × r².

Se a geratriz do cone C mede g = 2r cm, podemos substituir esse valor na fórmula da área lateral do cone. Assim, teremos:

A_L = π × r × (2r) = 2π × r²

Já sabemos que a área da base do cone é dada por A_B = π × r². Observamos que A_L é igual a 2 × A_B, o que significa que a área lateral do cone é o dobro da área da sua base.

Portanto, a afirmação é correta, e a resposta certa é C) CERTO.

Essa questão exige do aluno uma boa compreensão das fórmulas das áreas lateral e da base do cone, além de habilidades em substituição de valores e simplificação de expressões algébricas.

Além disso, é fundamental que o aluno saiba analisar as informações dadas e utilizar as fórmulas apropriadas para resolver o problema. Nesse caso, a substituição do valor da geratriz g na fórmula da área lateral do cone foi fundamental para encontrar a resposta correta.

Questão 17

Considerando uma esfera E de raio R cm e um
cone circular reto C de altura h cm, raio da base
r cm e geratriz medindo g cm, assinale o que for
correto.

Se E1 é uma outra esfera de raio igual à
metade de R, seu volume é a metade do
volume da esfera E.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é E)

A afirmação de que o volume da esfera E1 é a metade do volume da esfera E é incorreta, pois o volume de uma esfera é dado pela fórmula V = (4/3) × π × r3, onde r é o raio da esfera.

Se o raio da esfera E1 é a metade do raio da esfera E, ou seja, r1 = R/2, então o volume da esfera E1 é V1 = (4/3) × π × (R/2)3 = (1/8) × (4/3) × π × R3.

Portanto, o volume da esfera E1 é um oitavo do volume da esfera E, e não a metade.

Assim, a resposta correta é a opção E) ERRADO.

Essa é uma questão clássica de geometria, que exige atenção ao detalhe e ao cálculo. É fundamental lembrar que a fórmula do volume da esfera é V = (4/3) × π × r3, e que o raio da esfera E1 é a metade do raio da esfera E.

Além disso, é importante lembrar que, ao trabalhar com volumes, é necessário ter cuidado com as unidades e com as dimensões, pois erros nesse sentido podem levar a resultados errados.

Em resumo, a resposta correta é a opção E) ERRADO, e a explicação está na fórmula do volume da esfera e na relação entre os raios das esferas E e E1.

Questão 18

Considerando uma esfera E de raio R cm e um
cone circular reto C de altura h cm, raio da base
r cm e geratriz medindo g cm, assinale o que for
correto.

Se r=h=R, o volume do cone C é um quarto
do volume da esfera E.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é C)

Vamos analisar melhor essa situação. Considere que o volume da esfera E é dado por V_esfera = (4/3) * π * R³, e que o volume do cone C é dado por V_cone = (1/3) * π * r² * h. Como r = h = R, podemos escrever V_cone = (1/3) * π * R² * R = (1/3) * π * R³.

Observe que V_cone = (1/4) * (4/3) * π * R³ = (1/4) * V_esfera. Logo, o volume do cone C é, de fato, um quarto do volume da esfera E, o que confirma a resposta certa, C).

É importante notar que a condição r = h = R é fundamental para que essa relação seja válida. Caso essa condição não seja satisfeita, não podemos mais afirmar que o volume do cone é um quarto do volume da esfera.

Além disso, é interessante observar que a relação entre os volumes da esfera e do cone depende apenas do raio da esfera e do raio da base do cone, e não da altura do cone ou da geratriz. Isso pode ser útil em problemas futuros que envolvam relações entre volumes de sólidos.

Em resumo, a resposta certa é C), pois o volume do cone C é, de fato, um quarto do volume da esfera E, desde que r = h = R.

Questão 19

Um cone circular reto tem volume de 496 ml e altura de 24 cm. Qual é o diâmetro da base desse cone? (use π = 3,1)

A)4√2 cm.
B)4√5 cm.
C)6√2 cm.
D)6√3 cm.
E)6√5 cm.

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A alternativa correta é B)

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula do volume do cone: V = (1/3)πr²h, onde V é o volume, r é o raio da base e h é a altura do cone.

Substituindo os valores dados, temos: 496 = (1/3)πr²(24). Para resolver essa equação, vamos começar pela simplificação da expressão.

496 = (1/3)πr²(24) → 496 = 8πr² → 62 = πr² → r² = 62 / π

Agora, vamos substituir o valor de π: r² = 62 / 3,1 → r² = 20 → r = √20

O diâmetro da base é o dobro do raio, então: d = 2r → d = 2√20 → d = 4√5

Portanto, a resposta correta é a opção B) 4√5 cm.

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Questão 20

. Um cone com altura igual a 30/π dm e raio de
1 dm é colocado com o vértice para baixo a fim
de coletar a água de uma torneira que pinga 1
litro de água a cada hora, sendo o intervalo
entre um pingo e outro constante.
Qual é o tempo necessário para que a água
atinja a metade da altura do cone?

A)1 hora e 15 minutos.
B)1 hora e 25 minutos.
C)2 horas e 30 minutos.
D)3 horas e 30 minutos.
E)5 horas.

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A alternativa correta é A)

Para resolver esse problema, precisamos calcular a capacidade do cone e, em seguida, descobrir o tempo necessário para encher metade do cone com água.

Primeiramente, vamos calcular a capacidade do cone. A fórmula para o volume de um cone é V = (1/3) * π * r² * h, onde V é o volume, r é o raio e h é a altura.

No nosso caso, r = 1 dm e h = 30/π dm. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

V = (1/3) * π * (1)² * (30/π) = 10 litros

Portanto, a capacidade do cone é de 10 litros. Agora, precisamos calcular o tempo necessário para encher metade do cone com água.

Como a torneira pinga 1 litro de água a cada hora, para encher metade do cone (5 litros) precisamos de 5 horas / 1 litro/hora = 5 horas.

Mas, como a questão pergunta o tempo necessário para que a água atinja a metade da altura do cone, e não metade da capacidade, precisamos calcular o tempo necessário para que a água atinja a altura de 15 dm (metade de 30 dm).

Para isso, precisamos calcular o volume de água necessário para atingir essa altura. Vamos usar a fórmula do volume do cone novamente, mas agora com a altura de 15 dm:

V = (1/3) * π * (1)² * (15/π) = 5 litros

Como vimos anteriormente, a torneira pinga 1 litro de água a cada hora. Para encher 5 litros, precisamos de 5 horas / 1 litro/hora = 5 horas.

Mas, como a água já pinga há algumas horas, precisamos calcular o tempo restante necessário para atingir a altura de 15 dm.

Como a torneira pinga 1 litro de água a cada hora, em 1 hora ela pinga 1 litro de água. Em 15 minutos, ela pinga 0,25 litros de água (1 litro / 4).

Portanto, para encher 5 litros, precisamos de 5 horas - 1 hora = 4 horas. E para encher os últimos 0,75 litros (5 litros - 0,25 litros), precisamos de 0,75 horas = 45 minutos.

Portanto, o tempo necessário para que a água atinja a metade da altura do cone é de 1 hora e 15 minutos.

O gabarito correto é, portanto, A) 1 hora e 15 minutos.

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