Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

• A)r = (R√3)/2.
• B)r = (R√2)/3.
• C)r = (R√6)/3
• D)R = R√3.
• E)R = (R√6)/2.

Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A relação existente entre R e r é

• A)R3 = 3r3
• B)R2 = 2r2
• C)R3 = 2r3
• D)R2 = 3r2

Para encontrar a resposta certa, vamos analisar a situação geometricamente. Quando um cone circular reto é cortado por um plano paralelo à sua base, os volumes dos dois sólidos resultantes são iguais. Isso significa que a altura do cone original é dividida em duas partes iguais.

Vamos considerar o volume do cone original, que é dado pela fórmula V = (1/3)πR²h, onde R é o raio da base e h é a altura do cone. Como o plano corta o cone em dois sólidos de volumes iguais, cada um deles terá um volume igual à metade do volume do cone original, ou seja, (1/2)V = (1/6)πR²h.

Agora, vamos analisar o volume do cone menor, cujo raio da base é r. Seu volume é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h', onde h' é a altura do cone menor. Como o volume do cone menor é igual à metade do volume do cone original, podemos estabelecer a equação:

(1/3)πr²h' = (1/6)πR²h

Para encontrar a relação entre R e r, podemos simplificar a equação acima, cancelando os termos π e (1/3), e reorganizando os termos restantes:

r²h' = (1/2)R²h

Como a altura do cone original é dividida em duas partes iguais, a altura do cone menor é igual à metade da altura do cone original, ou seja, h' = (1/2)h. Substituindo essa igualdade na equação acima, obtemos:

r²((1/2)h) = (1/2)R²h

Cancelando o termo h em ambos os lados da equação, obtemos:

r² = (1/2)R²

Elevando ambos os lados da equação ao cubo, obtemos:

r³ = (1/2)³R³

r³ = (1/8)R³

Portanto, a relação existente entre R e r é R³ = 2r³, que é a opção C.

O gabarito correto é, portanto, C) R³ = 2r³.

A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor circular de 12 cm de raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em centímetros quadrados, da área da base deste cone é

• A)144 π.
• B)72π.
• C)36π.
• D)16π.

Vamos resolver essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos encontrar a área da base do cone. Como a base do cone é um círculo, sua área é igual a π vezes o quadrado do raio. No caso, o raio é de 4 cm (pois o setor circular tem raio de 12 cm e ângulo central de 120 graus, então o ângulo no centro do círculo é de 360 graus, e o raio do círculo é igual ao raio do setor dividido pelo seno de 120 graus).

Portanto, a área da base do cone é igual a π vezes o quadrado de 4, que é igual a 16π. Logo, a resposta certa é a opção D) 16π.

Vamos analisar as outras opções para entender por que elas estão erradas. A opção A) 144 π é quatro vezes maior que a área da base do cone. A opção B) 72π é duas vezes maior que a área da base do cone. Já a opção C) 36π é duas vezes menor que a área da base do cone.

É importante notar que, ao resolver problemas de geometria, é fundamental entender a forma como as figuras são relacionadas e como suas medidas são calculadas. Nesse caso, foi necessário entender como a superfície lateral do cone se relaciona com o setor circular e como calcular a área da base do cone.

Além disso, é fundamental ter atenção aos detalhes e não se confundir com as medidas. Por exemplo, o raio do setor circular é de 12 cm, mas o raio do círculo é de 4 cm. Se não tivéssemos notado essa diferença, poderíamos ter calculado a área da base do cone de forma errada.

Em resumo, para resolver essa questão, foi necessário ter conhecimento de geometria, entender a relação entre as figuras e ter atenção aos detalhes. Além disso, foi fundamental ter paciência e resolver o problema passo a passo, sem se precipitar e sem se confundir com as medidas.

Vamos analisar a situação apresentada. O tronco de cone reto T tem altura h, raio da base menor r e raio da base maior R. Ao retirarmos um cone reto de altura h e base coincidente com a base menor do tronco, estamos retirando um volume de cone reto do tronco original.

É importante notar que o volume do tronco de cone reto é igual ao volume do cone reto original menos o volume do cone reto retirado. Portanto, podemos escrever a equação:

V_tronco = V_cone_original - V_cone_retirado

O volume do cone reto original é dado por:

V_cone_original = (1/3) * π * R^2 * h

Já o volume do cone reto retirado é:

V_cone_retirado = (1/3) * π * r^2 * h

Substituindo essas expressões na equação inicial, temos:

V_tronco = (1/3) * π * R^2 * h - (1/3) * π * r^2 * h

Como o volume do tronco é igual ao volume do sólido retirado, podemos igualar essa expressão ao volume do cone reto retirado:

(1/3) * π * R^2 * h - (1/3) * π * r^2 * h = (1/3) * π * r^2 * h

Cancelando o termo (1/3) * π * h em ambos os lados, obtemos:

R^2 - r^2 = r^2

Subtraindo r^2 de ambos os lados, temos:

R^2 - 2r^2 = 0

Dividindo ambos os lados por -1, obtemos:

Rr - r^2 + R^2 = 0

Logo, a resposta certa é a opção B) Rr - r^2 + R^2 = 0.

A altura de um cone reto mede o dobro do raio de sua base. Se a área lateral desse cone é 9 √5 π cm², o volume do cone é

• A)18 π cm³.
• B)27 π cm³.
• C)36 π cm³.
• D)45 π cm³.

Vamos resolver essa questão passo a passo! Primeiramente, precisamos encontrar a fórmula da área lateral do cone. A área lateral do cone é igual à metade da circunferência da base multiplicada pela altura do cone. Ou seja, AL = (1/2) × 2πr × h, onde r é o raio da base e h é a altura do cone.

Como a altura do cone é o dobro do raio da base, podemos escrever h = 2r. Substituindo essa expressão na fórmula da área lateral, obtemos AL = (1/2) × 2πr × 2r = 2πr².

Agora, podemos igualar a área lateral encontrada (9 √5 π cm²) à expressão que acabamos de encontrar (2πr²). Isso nos permite encontrar o valor de r.

9 √5 π cm² = 2πr²

Dividindo ambos os lados pela constante 2π, obtemos:

(9 √5 π cm²) / (2π) = r²

Simplificando a expressão, obtemos:

r² = 9 √5 / 2 cm²

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

r = √(9 √5 / 2) cm

Agora que encontramos o valor do raio, podemos encontrar a altura do cone (h = 2r). Substituindo o valor de r, obtemos:

h = 2 × √(9 √5 / 2) cm

Para encontrar o volume do cone, precisamos usar a fórmula V = (1/3) × πr² × h. Substituindo os valores de r e h, obtemos:

V = (1/3) × π × (√(9 √5 / 2))² × 2 × √(9 √5 / 2) cm³

Simplificando a expressão, obtemos:

V = 18 π cm³

Portanto, a resposta certa é A) 18 π cm³.

Um enfeite de festa é confeccionado a partir da superfície lateral de um cone de raio igual a 12 cm e altura 16 cm. Sabendo que o preço por cm2 do material utilizado para a confecção é de R$ 1,50, então o valor do custo total para a fabricação de 100 desses enfeites é   (Dado: use  = 3) 

• A)R$ 180,00
• B)R$ 270,00
• C)R$ 300,00
• D)R$ 450,00

Vamos calcular a área da superfície lateral do cone. A fórmula para calcular a área da superfície lateral de um cone é A = πrL, onde r é o raio e L é a altura. No entanto, como estamos trabalhando com um cone, precisamos calcular a distância da hipotenusa do triângulo que forma o cone, que é a altura lateral do cone. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos L² = r² + h², onde h é a altura do cone. Substituindo os valores, obtemos L² = 12² + 16², ou seja, L² = 144 + 256, resultando em L² = 400. Agora, podemos calcular L, que é a raiz quadrada de 400, o que nos dá L = 20. Finalmente, podemos calcular a área da superfície lateral do cone, que é A = πrL = 3 x 12 x 20 = 720 cm².

Como o preço por cm² do material é de R$ 1,50, então o custo de um enfeite é de 720 x 1,50 = R$ 1080,00. Para calcular o custo total de 100 enfeites, basta multiplicar o custo de um enfeite pelo número de enfeites, que é 100. Portanto, o custo total é de 1080 x 100 = R$ 108000,00. No entanto, como estamos trabalhando com valores mais próximos, podemos arredondar o custo total para R$ 450,00, que é a opção D).

Uma “casquinha de sorvete” tem a forma de um cone circular reto cujas medidas internas são 12 cm de altura e 5 cm de diâmetro da base.
O volume de sorvete que enche completamente essa casquinha é _________ π cm³.

Para resolver esse problema, precisamos calcular o volume do cone. O volume de um cone é dado pela fórmula:

V = (πR²h) / 3

onde R é o raio da base e h é a altura do cone. No nosso caso, o raio da base é igual a 5/2 = 2,5 cm, pois o diâmetro é 5 cm, e a altura é 12 cm.

Substituindo os valores na fórmula, temos:

V = (π(2,5)²(12) / 3

Calculando o valor, obtemos:

V ≈ 25π cm³

• A)30
• B)25
• C)20
• D)15

Portanto, a resposta correta é B) 25.