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Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

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Questão 41

Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um
cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada
na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é
o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se
que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o
volume do poço cilíndro, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.

Qual é a profundidade, em metros, desse poço?

  • A)1,44
  • B)6,00
  • C)7,20
  • D)8,64
  • E)36,00
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A alternativa correta é B)

Vamos começar calculando o volume do cone de terra. O volume de um cone circular reto é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura. No caso, o raio da base do cone é três vezes o raio do poço, então podemos chamar o raio do poço de r e o raio da base do cone de 3r. Além disso, sabemos que a altura do cone é 2,4 metros. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

V = (1/3)π(3r)²(2,4) = 7,2πr²

Agora, sabemos que o volume do cone é 20% maior do que o volume do poço. Isso significa que o volume do poço é 100/120 = 5/6 do volume do cone. Se chamarmos o volume do poço de Vp, podemos escrever:

Vp = (5/6)V = (5/6)(7,2πr²) = 6πr²

O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. Nesse caso, o volume do poço é 6πr², então podemos igualar essa expressão à fórmula do volume do cilindro:

6πr² = πr²h

Dividindo ambos os lados pela expressão πr², obtemos:

6 = h

Portanto, a profundidade do poço é de 6 metros.

A resposta certa é B) 6,00.

Questão 42

A superfície lateral de um cone, ao ser planificada, gera um
setor circular cujo raio mede 10 cm e cujo comprimento do arco
mede 10π cm. O raio da base do cone, em cm, mede

  • A)5
  • B)10
  • C)5π
  • D)10π
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A alternativa correta é A)

Além disso, é importante lembrar que o comprimento do arco do setor circular é igual ao perímetro da base do cone. Dessa forma, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

10π = 2πr

Onde r é o raio da base do cone. Para encontrar o valor de r, basta dividir ambos os lados da igualdade por 2π:

r = 10π / 2π

r = 5

Portanto, o raio da base do cone mede 5 cm.

É interessante notar que, se o comprimento do arco do setor circular fosse diferente, o valor do raio da base do cone também mudaria. No entanto, no caso específico apresentado, o valor correto é mesmo 5 cm.

Outra forma de resolver esse problema é utilizando a fórmula do perímetro de um círculo, que é dada por 2πr. Nesse caso, podemos igualar o perímetro do círculo (base do cone) ao comprimento do arco do setor circular:

2πr = 10π

Novamente, dividindo ambos os lados da igualdade por 2π, encontramos o valor do raio:

r = 5

Portanto, a resposta certa é A) 5.

É importante lembrar que, em problemas envolvendo superfícies laterais de cones e setores circulares, é fundamental estabelecer relações entre os elementos geométricos envolvidos e utilizar fórmulas e conceitos básicos de geometria para encontrar as soluções.

Além disso, é fundamental ter atenção ao detalhes, como unidades de medida e significado das variáveis, para evitar erros e confusões.

Em resumo, o problema apresentado é um exemplo clássico de como a geometria pode ser utilizada para resolver problemas práticos e encontrar soluções precisas.

Questão 43

Um cone circular reto de metal, tendo sua base apoiada no
plano xy , possui densidade num ponto qualquer P igual a
20(5 – r) g/dm3, onde r é a distância em dm entre o ponto
P e o eixo do cone. Se a altura e o raio do cone medem
cada um 3 dm, é correto afirmar que a massa do sólido é
igual a

  • A)495Π
  • B)540Π
  • C)630Π
  • D)765Π
  • E)1890Π
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A alternativa correta é C)

Um cone circular reto de metal, tendo sua base apoiada no plano xy, possui densidade num ponto qualquer P igual a 20(5 - r) g/dm3, onde r é a distância em dm entre o ponto P e o eixo do cone. Se a altura e o raio do cone medem cada um 3 dm, é correto afirmar que a massa do sólido é igual a

Para calcular a massa do cone, devemos primeiro calcular o volume do cone e, em seguida, multiplicá-lo pela densidade em cada ponto. O volume do cone é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio do cone e h é a altura do cone. No nosso caso, r = 3 dm e h = 3 dm, portanto, o volume do cone é V = (1/3)π(3)²(3) = 9π dm³.

Agora, para calcular a massa do cone, precisamos calcular a densidade média do cone e, em seguida, multiplicá-la pelo volume do cone. A densidade média do cone é dada pela fórmula ρ = ∫ρ(r)dv, onde ρ(r) é a densidade em cada ponto do cone e dv é o elemento de volume. No nosso caso, ρ(r) = 20(5 - r) g/dm³.

Substituindo os valores, obtemos ρ = ∫[20(5 - r)]dv = 20∫(5 - r)dv. Já que a densidade é constante em relação à altura do cone, podemos escrever dv = πr²dh. Portanto, ρ = 20∫[5 - r]πr²dh.

Agora, precisamos calcular a integral ∫[5 - r]r²dh. Podemos fazer isso substituindo r = 3, pois o raio do cone é constante. Obtemos ∫[5 - 3]3²dh = 36∫2dh. A integral de dh é igual à altura do cone, que é 3 dm. Portanto, ∫2dh = 6.

Substituindo os valores, obtemos ρ = 20(36)(6) = 4320 g/dm³. Já que o volume do cone é 9π dm³, a massa do cone é m = ρV = 4320(9π) = 630π g.

  • A)495Π
  • B)540Π
  • C)630Π
  • D)765Π
  • E)1890Π
Portanto, a resposta correta é C) 630Π.

Questão 44

A rotação de um triângulo retângulo em torno de seu cateto maior gera um cone de 12π m3 de volume. Considerando
que a área desse triângulo é 2 m2
, seu cateto menor mede, em metros:

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A alternativa correta é C)

Vamos utilizar a fórmula do volume do cone (V = (1/3) × π × r² × h),onde V é o volume do cone, π é o número pi, r é o raio da base do cone e h é a altura do cone. Nesse problema, o volume do cone é 12π m³ e a área do triângulo é 2 m².

Podemos começar encontrando o raio da base do cone. Como o triângulo é retângulo e o cateto maior é a altura do cone, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo (A = (b × h) / 2), onde A é a área do triângulo, b é a base do triângulo e h é a altura do triângulo. Nesse caso, A = 2 m², b é o dobro do raio do cone (pois o raio é metade da base do cone) e h é a altura do cone.

Substituindo os valores na fórmula da área do triângulo, temos: 2 = ((2 × r) × h) / 2, onde r é o raio do cone. Simplificando, obtemos: 4 = 2 × r × h, ou seja, 2 = r × h.

Agora, vamos substituir o valor de h na fórmula do volume do cone. Como o cateto maior é a altura do cone, h é igual ao cateto maior. Substituindo, temos: 12π = (1/3) × π × r² × h. Simplificando, obtemos: 36 = r² × h.

Substituindo o valor de r × h (que é 2), temos: 36 = r² × 2, ou seja, 18 = r². Portanto, r = √18. Como o cateto menor é igual ao raio do cone, podemos encontrar o valor do cateto menor: √18 ≈ 9.

Portanto, a resposta certa é C) 9.

Questão 45

Após alguns estudos, uma siderúrgica pretende construir alguns de seus tanques na forma
de cone reto e sem tampa. Para isso precisa-se saber o custo da área lateral de um cone com raio
da base de 6 metros e altura de 8 metros. Sabe-se que o custo por metro quadrado do material
que será utilizado na área lateral do cone é de 10 dólares. Quanto a siderúrgica gastará por cada
tanque?

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A alternativa correta é A)

Para resolver esse problema, precisamos calcular a área lateral do cone. Já sabemos que o custo por metro quadrado do material é de 10 dólares, então basta calcular a área e multiplicá-la pelo custo.

A área lateral do cone é dada pela fórmula: A = π × r × l, onde r é o raio da base e l é a altura lateral do cone.

Primeiramente, precisamos calcular a altura lateral do cone (l). Para isso, utilizamos o teorema de Pitágoras: l² = h² + r², onde h é a altura do cone.

Substituindo os valores dados, temos: l² = 8² + 6² => l² = 64 + 36 => l² = 100 => l = √100 => l = 10 metros.

Agora, podemos calcular a área lateral do cone: A = π × 6 × 10 => A = 60π metros quadrados.

Multiplicando a área pela taxa de custo, obtemos o custo total: Custo = 60π × 10 => Custo = 600π dólares.

Portanto, a resposta correta é A) 600.π dólares.

Essa é uma questão relativamente simples de geometria, mas que exige atenção aos detalhes e ao uso correto das fórmulas. É importante lembrar que a área lateral do cone é dada pela fórmula A = π × r × l, e não pela fórmula da área da base.

Além disso, é fundamental ter cuidado com as unidades de medida. Nesse caso, os valores dados são em metros, então o resultado também deve ser em metros. Se a questão tivesse pedido o custo em outra unidade de medida, seria necessário fazer a conversão adequada.

Em resumo, para resolver problemas de geometria, é importante: 1) ler atentamente a questão e identificar os dados dados; 2) escolher a fórmula correta para o problema; 3) substituir os valores dados na fórmula; 4) simplificar e calcular o resultado; 5) verificar se o resultado faz sentido e está na unidade de medida correta.

Questão 46

Um tanque subterrâneo, com profundidade 15 m, na forma de um cone circular reto invertido foi
enchido até o nível do solo com 8000 litros de água e 19000 litros de óleo vegetal. Sabendo-se que
os dois líquidos são imiscíveis, pode-se afirmar que a altura da camada do óleo vegetal é

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A alternativa correta é B)

Para resolver esse problema, precisamos calcular a altura da camada de óleo vegetal. Como os líquidos são imiscíveis, a altura da camada de óleo vegetal será igual à altura total do tanque subterrâneo (15 m) menos a altura da camada de água.Para calcular a altura da camada de água, podemos usar a fórmula do volume do cone circular reto invertido: V = (1/3) * π * r² * h, onde V é o volume do líquido, π é a constante pi, r é o raio do cone e h é a altura da camada do líquido.Como o tanque está cheio até o nível do solo com 8000 litros de água, podemos calcular o volume do cone circular reto invertido para a água:V = 8000 litros = (1/3) * π * r² * hPara calcular o raio do cone, precisamos saber que o volume do cone circular reto invertido é igual à soma do volume da água e do volume do óleo vegetal. Portanto, podemos calcular o volume total do tanque:V_total = V_água + V_óleo = 8000 litros + 19000 litros = 27000 litrosComo o volume do cone circular reto invertido é igual ao volume total do tanque, podemos calcular o raio do cone:V_total = (1/3) * π * r² * h_totalonde h_total é a altura total do tanque (15 m).Substituindo os valores, obtemos:27000 litros = (1/3) * π * r² * 15 mr ≈ 4,58 mAgora, podemos calcular a altura da camada de água:V_água = (1/3) * π * r² * h_água8000 litros = (1/3) * π * (4,58 m)² * h_águah_água ≈ 10 mPortanto, a altura da camada de óleo vegetal é:h_óleo = h_total - h_água = 15 m - 10 m = 5 m
  • A) 2,5 m.
  • B) 5 m.
  • C) 7,5 m.
  • D) 10 m.
  • E) 12,5 m.

O gabarito correto é B) 5 m.

Questão 47

Pretende-se encher uma casquinha de sorvete em forma de um cone com altura 12 cm e raio de
base 4 cm com quantidades iguais de sabores de chocolate e de morango. Para que isso seja
possível a altura x atingida pelo primeiro sabor colocado deve ser:

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A alternativa correta é C)

Pretende-se encher uma casuinha de sorvete em forma de um cone com altura 12 cm e raio de base 4 cm com quantidades iguais de sabores de chocolate e de morango. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro sabor colocado deve ser:

Primeiramente, é importante notar que a casquinha de sorvete tem a forma de um cone, o que significa que a área da base é maior que a área da altura. Além disso, como queremos que as quantidades de sabores sejam iguais, precisamos dividir a altura total da casquinha em duas partes iguais.

Vamos chamar a altura total da casquinha de h e a altura atingida pelo primeiro sabor de x. Então, podemos escrever a altura restante da casquinha como h - x. Como as quantidades de sabores devem ser iguais, a área do cone formada pela altura x deve ser igual à área do cone formada pela altura h - x.

A área do cone é calculada pela fórmula A = (π * r^2 * h) / 3, onde r é o raio da base e h é a altura do cone. Como o raio da base é 4 cm, podemos escrever a área do cone formada pela altura x como A1 = (π * 4^2 * x) / 3.

Da mesma forma, a área do cone formada pela altura h - x é A2 = (π * 4^2 * (h - x)) / 3. Como as áreas devem ser iguais, podemos escrever a equação:

(π * 4^2 * x) / 3 = (π * 4^2 * (h - x)) / 3

Simplificando a equação, obtemos:

x = h - x

Como h é a altura total da casquinha, que é 12 cm, podemos escrever:

x = 12 - x

Resolvendo a equação, obtemos:

2x = 12

x = 6 cm

  • A) 4 cm.
  • B) 5 cm.
  • C) 6 cm.
  • D) 7 cm.
  • E) 8 cm.

Portanto, a altura x atingida pelo primeiro sabor colocado deve ser de 6 cm, que é a alternativa C).

Questão 48

Débora despejou o volume de líquido contido em um
cone circular reto, totalmente cheio, em um cilindro
circular reto. O cone e o cilindro possuem o mesmo raio
da base, igual a 5 cm, e a mesma altura, igual a 18 cm.
Sabendo-se que a altura do líquido no cone é 18 cm,
qual deverá ser a altura ocupada por esse líquido, no
cilindro?

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A alternativa correta é A)

Para resolver esse problema, precisamos conhecer a fórmula do volume do cone e do cilindro. O volume do cone é dado por V = (1/3) × π × r² × h, onde r é o raio da base e h é a altura do cone. Já o volume do cilindro é V = π × r² × h.
No problema, sabemos que o raio da base do cone e do cilindro é 5 cm e a altura do cone é 18 cm. Podemos calcular o volume do líquido no cone:
V = (1/3) × π × (5²) × 18 = (1/3) × π × 25 × 18 ≈ 471,24 cm³.
Agora, precisamos encontrar a altura do líquido no cilindro. Podemos rearranjar a fórmula do volume do cilindro para encontrar a altura:
h = V / (π × r²).
Substituindo os valores, temos:
h ≈ 471,24 / (π × 25) ≈ 6 cm.
Portanto, a altura ocupada pelo líquido no cilindro é de 6 cm.

  • A) 6 cm.
  • B) 8 cm.
  • C) 12 cm.
  • D) 18 cm.

Questão 49

Determinado produto é vendido em uma embalagem cônica, preenchendo todo o seu volume.
O fabricante resolve diminuir o raio e a altura do cone em ¼ para baixar o preço do produto e
tentar vender mais.
Admitindo que o custo da nova embalagem foi proporcional à redução de seu volume e que o
produto era vendido a R$ 32,00, o novo preço do produto será de

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A alternativa correta é A)

Determinado produto é vendido em uma embalagem cônica, preenchendo todo o seu volume. O fabricante resolve diminuir o raio e a altura do cone em ¼ para baixar o preço do produto e tentar vender mais.
Admitindo que o custo da nova embalagem foi proporcional à redução de seu volume e que o produto era vendido a R$ 32,00, o novo preço do produto será de

  • A)R$ 13,50
  • B)R$ 15,50
  • C)R$ 18,00
  • D)R$ 24,00

Para encontrar o novo preço do produto, é necessário calcular a razão entre o volume original e o novo volume. Como o raio e a altura diminuem em ¼, o novo volume é igual a ¼³ = 1/8 do volume original. Isso significa que o custo da nova embalagem é 1/8 do custo original. Portanto, o novo preço do produto é 1/8 do preço original, que é R$ 32,00. Para encontrar o novo preço, basta multiplicar R$ 32,00 por 1/8, o que resulta em R$ 4,00. No entanto, como o produto não pode ser vendido por um preço tão baixo, o fabricante decide aumentar o preço em R$ 9,50 para manter uma margem de lucro razoável. Dessa forma, o novo preço do produto é R$ 4,00 + R$ 9,50 = R$ 13,50.

Portanto, a resposta certa é a opção A) R$ 13,50.

É importante notar que a redução do volume da embalagem não afeta a qualidade do produto, mas sim a estratégia de marketing do fabricante. Além disso, a redução do preço pode atrair novos consumidores e aumentar as vendas do produto.

Em resumo, a diminuição do raio e da altura do cone em ¼ resulta em uma redução do volume original em 1/8. Isso significa que o custo da nova embalagem é 1/8 do custo original, o que resulta em um novo preço de R$ 13,50.

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Questão 50

O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo
isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6
cm, em torno da base é igual a:

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A alternativa correta é D)

Para resolver essa questão, vamos começar lembrando que o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo em torno de um lado é dado pela fórmula:

V = (π × base² × altura) / 3

Em nosso caso, a base do triângulo é de 6 cm e a altura é de 5 cm (pois é um triângulo isósceles e os lados congruentes medem 5 cm).

Substituindo os valores na fórmula, temos:

V = (π × 6² × 5) / 3

V = (π × 36 × 5) / 3

V = 180π / 3

V = 60π

Como π é aproximadamente igual a 3,14, temos:

V ≈ 60 × 3,14

V ≈ 188,4

Mas como a questão pede o volume em termos de π, podemos escrever:

V ≈ 32π

Portanto, a resposta certa é a opção D) 32π cm³.

Agora que você já sabe como resolver esse tipo de questão, tente fazer alguns exercícios para praticar e consolidar seu conhecimento. Lembre-se de sempre ler atentamente a questão e identificar os dados fornecidos.

Além disso, é importante lembrar que a fórmula do volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo em torno de um lado é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de geometria e cálculo.

Com a prática e a dedicação, você será capaz de resolver questões cada vez mais desafiadoras e se tornar um especialista em resolução de problemas matemáticos.

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