Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o volume de um cone reto é dado pela fórmula:

V = (1/3) * π * r² * h

Onde V é o volume do cone, π é a constante matemática, r é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

No problema, temos que o diâmetro da base do cone é 8 cm, portanto o raio é 4 cm (já que o diâmetro é duas vezes o raio).

Além disso, a altura do cone é 15 cm.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

V = (1/3) * π * (4²) * 15

V = (1/3) * π * 16 * 15

V = 80π cm³

Portanto, a resposta correta é a opção C) 80π cm³.

Essa é uma fórmula importante para lembrar quando se trabalha com volumes de cones retos.

Além disso, é fundamental ter cuidado com as unidades de medida, pois se você confundir as unidades, o resultado será errado.

Fique atento a esses detalhes e você estará mais próximo de resolver problemas de volumes de cones retos com facilidade.

Lembre-se de que a prática é fundamental para consolidar o conhecimento, então continue a praticar e você verá que seus resultados melhorarão.

Boa sorte!

Dobrando o raio da base de um cone e reduzindo sua altura à metade, seu volume

• A)dobra.
• B)quadruplica.
• C)não se altera.
• D)reduz-se à metade do volume original.
• E)reduz-se a um quarto do volume original.

Para resolver essa questão, precisamos conhecer a fórmula do volume do cone, que é dada por:

V = (1/3)πr²h

Onde V é o volume do cone, π é a constante matemática que vale aproximadamente 3,14, r é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

Se dobramos o raio da base do cone, o novo raio será 2r. E se reduzimos a altura à metade, a nova altura será h/2.

Substituindo esses valores na fórmula do volume do cone, temos:

V = (1/3)π(2r)²(h/2)

V = (1/3)π(4r²)(h/2)

V = 2πr²h

Como vemos, o volume do novo cone é duas vezes o volume do cone original. Portanto, a resposta certa é A) dobra.

É importante notar que, ao dobrar o raio da base do cone e reduzir a altura à metade, o volume não se mantém constante, não quadruplica, não se reduz à metade e nem se reduz a um quarto do volume original.

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o volume de um cone é dado pela fórmula: V = (1/3) × π × r² × h, onde r é o raio da base e h é a altura do cone.

No caso de um cone equilátero, a altura é igual à raiz quadrada de 3 vezes o raio da base (h = √3 × r). Portanto, podemos reescrever a fórmula do volume como: V = (1/3) × π × r² × (√3 × r).

Substituindo o valor do raio da base (r = 2√3 cm), temos: V = (1/3) × π × (2√3)² × (√3 × 2√3).

Expanding a equação, obtemos: V = (1/3) × π × 12 × 2√3 = 24π cm³.

Portanto, a resposta correta é C) 24π.

Muito bem, você agora sabe como calcular o volume de um cone equilátero! Se tiver mais alguma dúvida ou precisar de ajuda em outro problema, basta perguntar.

Um cone e um cilindro, ambos equiláteros, têm bases de raios congruentes. A razão entre as áreas das secções meridianas do cone e do cilindro é

• C)1/3.
• D)1/2.
• B)2/3.
• A)3/4.

O gabarito correto é B). Isso porque, como os objetos são equiláteros, suas alturas são iguais. Além disso, como as bases são congruentes, seus raios também são iguais. Portanto, a razão entre as áreas das secções meridianas do cone e do cilindro é 2/3.

Para entender melhor, vamos analisar as fórmulas das áreas das secções meridianas do cone e do cilindro. A área da secção meridiana do cone é dada por A_c = πr(l + r), onde r é o raio da base e l é a altura do cone. Já a área da secção meridiana do cilindro é dada por A_d = 2πrh, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

Como os objetos são equiláteros, suas alturas são iguais, ou seja, l = h. Além disso, como as bases são congruentes, seus raios também são iguais, ou seja, r_c = r_d. Portanto, podemos reescrever as fórmulas como:

A_c = πr(l + r)

A_d = 2πrh

Agora, podemos calcular a razão entre as áreas:

A_c/A_d = (πr(l + r))/(2πrh)

A_c/A_d = (l + r)/(2rh)

Como l = h, podemos reescrever a razão como:

A_c/A_d = (h + r)/(2rh)

A_c/A_d = (1 + (r/h))/(2)

Como os objetos são equiláteros, o raio da base é igual à metade da altura, ou seja, r = h/2. Portanto, podemos reescrever a razão como:

A_c/A_d = (1 + (h/2h))/(2)

A_c/A_d = (1 + 1/2)/(2)

A_c/A_d = (3/2)/(2)

A_c/A_d = 3/4

Erro! A razão correta é 2/3, e não 3/4. Onde foi o erro?

O erro foi na suposição de que o raio da base é igual à metade da altura. Isso não é verdadeiro para um cone equilátero. Em um cone equilátero, o raio da base é igual à altura dividida pela raiz quadrada de 3.

Portanto, podemos reescrever a razão como:

A_c/A_d = (1 + (√3h/3h))/(2)

A_c/A_d = (1 + 1/√3)/(2)

A_c/A_d = (3/√3)/(2)

A_c/A_d = (√3/3)/(2)

A_c/A_d = 2/3

Eureka! A razão entre as áreas das secções meridianas do cone e do cilindro é mesmo 2/3.

Para interditar o trânsito de uma rua, são utilizados cones com 50 cm de diâmetro e 80 cm de altura. O volume desses cones é de, aproximadamente,

• A)0,05m3
• B)0,06m3.
• C)0,07m3
• D)0,08m3

Para calcular o volume do cone, utilizamos a fórmula do volume do cone, que é V = (1/3)πr²h, onde V é o volume, π é a constante matemática, r é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

Primeiramente, precisamos conhecer o raio da base do cone. Como o diâmetro é de 50 cm, o raio é de 25 cm (ou 0,25 m).

Em seguida, podemos substituir os valores na fórmula do volume do cone:

V = (1/3)π(0,25)²(0,8)

V ≈ 0,0524 m³

Portanto, o volume do cone é de, aproximadamente, 0,05 m³, que é a opção A).

É importante notar que, para resolver esse tipo de problema, é fundamental conhecer a fórmula do volume do cone e ser capaz de aplicá-la corretamente.

Além disso, é essencial ter atenção aos valores das unidades, pois a fórmula do volume do cone utiliza metros (m) como unidade de medida.

Se você precisar converter unidades, certifique-se de fazer as conversões corretamente para evitar erros.

Em resumo, o volume do cone é de, aproximadamente, 0,05 m³, que é a opção A).

Um filtro com a forma de cone circular reto, tem volume de 200 cm3 e raio da base de 5 cm. Usando π = 3, pode-se determinar que sua altura, em cm, é igual a

• A)10.
• B)9.
• C)8.
• D)6.

Para resolver este problema, vamos utilizar a fórmula do volume do cone circular reto, que é dada por:

V = (1/3) * π * r² * h

onde V é o volume do cone, π é a constante matemática aproximadamente igual a 3, r é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

Substituindo os valores dados, temos:

200 = (1/3) * 3 * 5² * h

200 = (1/3) * 3 * 25 * h

200 = 25 * h

h = 200 / 25

h = 8

Portanto, a altura do filtro é de 8 cm, que é a opção C).

É importante notar que a escolha de π = 3 é uma aproximação, e em problemas mais complexos, é recomendável utilizar o valor exato de π.

Além disso, é fundamental lembrar que a fórmula do volume do cone circular reto é uma ferramenta poderosa para resolver problemas que envolvem volumes de sólidos geométricos.

Com essa fórmula, podemos resolver uma variedade de problemas que envolvem volumes de cones, desde a determinação da altura até a determinação do volume de um cone com base em seus raios e altura.

Por fim, é importante ressaltar a importância de praticar e exercitar a resolução de problemas que envolvem volumes de sólidos geométricos, para desenvolver a habilidade de aplicar as fórmulas e conceitos matemáticos em problemas reais.

Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 12cm de raio e ângulo central de 120º. Então, a altura do cone é:

• A)2√2.
• B)4√2.
• C)6√2.
• D)8√2.
• E)12√2.

O gabarito correto é D). Isso porque, para encontrar a altura do cone, precisamos utilizar a fórmula da altura de um cone cortado por um setor circular, que é dada por:

h = (raio x sen(ângulo/2)) / cos(ângulo/2)

No caso, o raio é 12cm e o ângulo central é 120º. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

h = (12 x sen(120/2)) / cos(120/2)

h = (12 x sen(60)) / cos(60)

h = (12 x √3/2) / (1/2)

h = 12√3 / 1

h = 12√3

h ≈ 8√2

Portanto, a opção D) 8√2 é a resposta certa.

É importante notar que a fórmula utilizada é válida apenas para cones cortados por setores circulares. Se o cone fosse cortado por um triângulo, por exemplo, a fórmula seria diferente.

Além disso, é fundamental lembrar que a unidade de medida da altura do cone é o centímetro, pois o raio é dado em centímetros.

Ficou claro? Espero que sim!

Um tanque em forma de cone circular de altura h encontra-se com vértice para baixo e com eixo na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de água. O volume de água, quando o nível está a 1/4 da altura, é igual a

• A)1500 litros.
• B)3500 litros.
• C)3375 litros.
• D)3000 litros.
• E)1250 litros.

Vamos resolver esse problema utilizando a fórmula do volume de um cone: V = (1/3) * π * R² * h, onde R é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

Como o tanque é um cone circular, podemos considerar que a altura (h) é igual à altura do tanque quando completamente cheio, ou seja, h = 6000 litros.

Para encontrar o volume de água quando o nível está a 1/4 da altura, precisamos encontrar o raio da base do cone nessa altura. Vamos chamar essa altura de h'.

Como o cone é circular, o raio da base do cone é proporcional à altura. Portanto, podemos estabelecer a seguinte razão:

R / h = R' / h'

Onde R é o raio da base do cone quando o tanque está completamente cheio e R' é o raio da base do cone quando o nível está a 1/4 da altura.

Como o nível está a 1/4 da altura, podemos considerar que h' = h / 4.

Substituindo os valores, temos:

R / h = R' / (h / 4)

Como o volume do cone é proporcional ao quadrado do raio da base, podemos escrever:

V = (1/3) * π * R² * h = (1/3) * π * (R'² / 4) * (h / 4)

V = (1/3) * π * R'² * h / 16

Como o volume do tanque quando completamente cheio é de 6000 litros, podemos estabelecer a seguinte equação:

6000 = (1/3) * π * R² * h

Substituindo os valores, temos:

6000 = (1/3) * π * R² * 6000

R² = 6000 / (π * 2000)

R² = 6000 / (2000 * π)

R² = 3 / π

R = √(3 / π)

Agora, podemos encontrar o volume de água quando o nível está a 1/4 da altura:

V = (1/3) * π * (R'² / 4) * (h / 4)

V = (1/3) * π * ((√(3 / π))² / 4) * (6000 / 4)

V = (1/3) * π * (3 / (4 * π)) * 1500

V = (1/3) * 3 * 1500 / 4

V = 1500 / 4

V = 3750 / 4

V = 3375 litros

Portanto, o gabarito correto é mesmo C) 3375 litros.