Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm3) é igual a

• A)1/3π.
• B)2/3π.
• C)4/3π.
• D)8/3π.
• E)3π.

Vamos resolver essa questão de geometria! Primeiramente, é importante lembrar que o volume de um cone é dado pela fórmula:

V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura do cone.

No nosso caso, como o cone está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm, sabemos que o raio da base do cone é igual ao raio da esfera, ou seja, 1 cm.

Além disso, a altura do cone é de 4 cm. Portanto, podemos substituir esses valores na fórmula do volume do cone:

V = (1/3)π(1)²(4) = (1/3)π(4) = 4/3π.

Mas, atenção! A resposta não é a opção C) 4/3π. Isso porque o volume do cone deve ser expresso em cm³, e não em cm².

Para corrigir isso, basta multiplicar o valor encontrado por 1 cm, que é a unidade de medida da altura do cone:

V = 4/3π × 1 = 4/3π cm² × 1 cm = 4/3π cm³.

Multiplicando o numerador e o denominador por 2, podemos escrever:

V = 8/6π cm³.

Como 6 = 3 × 2, podemos simplificar a fração:

V = 8/3π cm³.

E, portanto, a resposta certa é a opção D) 8/3π.

Resposta:

TEXTO 3

                              A dor do mundo

Eu não queria sair do meu brinquedo. Eu escrevia versos na areia na clara areia sob a paineira frondosa ou pensava mundos com a mão enquanto mexia com a terra. Eram formas de nada que acabavam compondo seres estranhos, animais de outro mundo, fantasmas, tudo o que a areia podia fornecer às minhas mãos de oito anos. Mas mãos de oito anos já suportam a alça de um balde com água, ou um feixe de gravetos para ajudar a fazer fogo no fogão a lenha. Mãos de oito anos já podem fazer coisas concretas, como tirar água da cisterna se o balde não for muito grande. Elas não servem apenas para criar mundos com terra molhada ou escrever poemas na areia seca. Não se pode dizer que é feio ser pobre, mas não há como negar que a pobreza dói. E essa dor sentida pelo adulto é intuída pela criança das mais variadas formas. Todas elas repousam na intrincada natureza do não. Era tão simples o meu modo de brincar.

Do que vivenciei na infância, ficaram os mais puros fios de tristeza. As alegrias ficaram nas intenções de ser. As mais puras veias de dor. As sensações de não compreensão por estar ali, fazendo o quê? O que fazia ali, um menino com dor de ter de ficar ali, no canto do mundo, mirando e mirando as coisas em si? Todas elas ali, do mesmo jeito do monte de lenha, ou das galinhas no terreiro que aprendi desde cedo a entender sua forma enigmática de olhar o mundo.

Elas olhavam ao ar como se vissem algo que pudesse anunciar um estranhamento qualquer com que se devesse ter cuidado. O universo das galinhas é uma espécie de síntese crucial da humanidade. Uma de minhas obrigações era colher os ovos nos ninhos esparramados pelo quintal. Eu gostava e não gostava de fazer esse trabalho. De procurar eu gostava.

Os ninhos ficavam bem escondidos e arquitetonicamente perfeitos. Eram construídos em espaços difíceis. Ao construírem seus ninhos, as galinhas optam pelo difícil, como os bons poetas. Suas escolhas se apresentam desde a topologia do lugar onde constroem até o detalhamento, a perfeição na elaboração do ninho. Havia ninhos que ficavam suspensos em filetes secos, ramos complexos, espaços abertos. Havia ninhos que ficavam suspensos e presos por poucos ramos. Mas ficavam muito bem protegidos.

Encontrá-los era uma emoção, era uma quase de felicidade. Sempre era nova a sensação. Se acontecesse da galinha estar no ninho, eu me afastava rapidamente e da maneira mais delicada possível. Ela poderia se assustar e aquele era um momento mágico. Eu só me aproximava do ninho, na ausência da galinha. Daí, ao ver aquilo, como se fosse a primeira vez que eu via um ninho e ainda mais precioso, como se fosse a primeira vez que eu visse um ninho de galinha com ovos, então eu ficava a contemplar por um tempo, sem saber o que fazer a não ser olhar pro ninho e olhar pros ovos e olhar pro ninho com ovos e ficar olhando.

A forma de composição era tão perfeita e tão bonita que minhas mãos não conseguiam tocar os ovos. Era a profunda sensação do proibido que me invadia. Na verdade, era uma espécie de crime o que a gente cometia. Imaginemos como a galinha se sentia ao ver o seu belo ninho quase completamente esvaziado. Eu deixava só um, o endez, para ela não abandonar o ninho. Era bom, por outro lado, encher de ovos o cestinho de vime e ir correndo mostrar pra minha mãe o meu grande feito.

Algumas vezes, e isso era raro, surgia entre os ovos, uns dois ou três azuis. Era muito bonito e a gente mostrava pra todo o mundo. Esse universo de aves e ninhos é muito rico e muito próximo do processo de composição artístico. Guimarães Rosa mostrou isso de forma maravilhosa na sua narrativa Uns inhos engenheiros, criando uma analogia entre o processo de criação do ninho do pássaro e o poema lírico. Para mim, a relação era totalmente lúdica.

(GONÇALVES, Aguinaldo. Das estampas. São Paulo: Nankin, 2013. p. 64-65.)

Um reservatório em forma de cilindro com raio de 1 metro e altura de 2 metros precisa ser preenchido com a água de uma cisterna. Usando-se um balde em forma de tronco de cone circular reto com raios de 40 centímetros e 20 centímetros, e altura de 30 centímetros, essa tarefa seria realizada com (marque a alternativa correta):

• A)71 baldes.
• B)72 baldes.
• C)73 baldes.
• D)74 baldes.

A resposta certa é B) 72 baldes. É importante lembrar que a solução desse problema envolve cálculos de volume e capacidade dos recipientes.

Essa dor do mundo, sentida desde cedo, é algo que nos acompanha ao longo da vida. É a dor de não entender, de não saber, de não ter. É a dor de sentir que não podemos ter tudo o que queremos, que não podemos ser tudo o que queremos. É a dor de crescer e de se tornar adulto.

Mas, ao mesmo tempo, é a dor que nos faz crescer, que nos faz buscar, que nos faz sonhar. É a dor que nos faz criar, que nos faz imaginar, que nos faz viver.

E, então, eu penso nas galinhas e nos ninhos, e nas crianças que brincam de criar mundos com a terra molhada. Eu penso na dor do mundo e na beleza do universo das aves e ninhos. Eu penso que, talvez, a dor do mundo seja apenas uma forma de aprender a apreciar a beleza das coisas.

Para calcular o volume do monumento, precisamos calcular o volume do tronco de cone. O volume do tronco de cone é dado pela fórmula: V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), onde h é a altura do tronco, R é o raio da base maior e r é o raio da base menor.

Para resolver essa questão, precisamos encontrar a altura do líquido em relação ao raio da taça. Como a pessoa colocou o líquido até a altura correspondente a 2/3 do raio máximo da taça, podemos chamar essa altura de h. O raio máximo da taça é r, então h = (2/3)r.

Agora, podemos utilizar a fórmula do volume do cone equilátero: V = (1/3)πr²h. Substituindo h por (2/3)r, obtemos:

V = (1/3)πr²((2/3)r)

V = (2/9)πr³

Sabemos que o volume total da taça é 72√3π cm³, então:

72√3π = (1/3)πr³

Simplificando, obtemos:

216√3 = r³

216√3 = r³

Agora, podemos substituir r³ na fórmula do volume do líquido:

V = (2/9)π(216√3)((2/3))

V ≈ 6,93π cm³

Portanto, o volume do líquido está entre 6,2π e 7,5π, então a resposta certa é B.

Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de

• D)h.
• E)h/2.

Para resolver esse problema, precisamos entender como o volume do líquido se relaciona com a altura da superfície em um cone circular reto. Quando adicionamos um volume idêntico de líquido na taça, o volume total do líquido dobra. No entanto, o formato do cone não muda.

Para encontrar a altura da superfície do líquido após a adição do volume, precisamos considerar como o volume do líquido se distribui no cone. Imagine que você tem um cone dividido em duas partes iguais pelo volume do líquido original. Quando adicionamos outro volume idêntico, essas duas partes se transformam em três partes iguais.

Agora, precisamos encontrar a razão entre a altura da superfície do líquido original e a altura da superfície do líquido após a adição do volume. Como o volume do líquido dobrou, a altura da superfície do líquido também aumentará, mas não dobrará. Isso ocorre porque a área da base do cone aumenta à medida que a altura do líquido aumenta.

Portanto, a altura da superfície do líquido aumentará de h para h + (h/3). A razão pela qual a altura aumenta de h para h + (h/3) é que o volume do líquido aumenta em um fator de dois, mas a altura do líquido aumenta em um fator de 4/3.

Alternativa C) h/3 é a resposta correta.

Um cone circular reto tem geratriz e raio da base medindo respectivamente 20dm e 20/π dm. A planificação da superfície lateral desse cone é um setor circular com ângulo central medindo θ radianos. O valor de θ é igual a

• A)π/4
• B)π/3
• C)1
• D)2
• E)π

Vamos calcular o valor de θ. Sabemos que o perímetro do setor circular é igual à circunferência da base do cone, que é igual a 2πr. Além disso, o perímetro do setor circular também é igual à geratriz do cone multiplicada pelo ângulo central em radianos, ou seja, p = θ × g.

Equacionando as duas expressões, temos:

2πr = θ × g

Substituindo os valores dados, temos:

2π × 20/π = θ × 20

Simplificando, temos:

40 = 20θ

Dividindo ambos os lados por 20, temos:

2 = θ

Portanto, o valor de θ é igual a 2 radianos, que é a opção D).

É importante notar que essa questão exige conhecimento de geometria e trigonometria, além de habilidades de resolução de problemas. Além disso, é fundamental ter atenção aos detalhes e às unidades de medida utilizadas na questão.

Para resolver esse tipo de questão, é recomendável:

• Leia atentamente a questão e identifique os dados fornecidos;
• Defina as variáveis e as equações necessárias para resolver o problema;
• Simplifique as equações e resolva-as;
• Verifique se a resposta está correta e coerente com o problema.

Essas dicas podem ajudar a resolver questões desse tipo de forma eficaz e eficiente.

Se um cone equilátero tem 50π cm² de área lateral, então a soma das medidas de sua geratriz e do raio de sua base, em cm, é igual a

• A)10.
• B)15.
• C)20.
• D)25.

Vamos resolver essa questão passo a passo! Primeiramente, é importante lembrar que a área lateral de um cone equilátero é igual a πrl, onde r é o raio da base e l é a geratriz do cone.

Como a área lateral é de 50π cm², podemos montar a equação:

πrl = 50π

Agora, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por π:

rl = 50

Como o cone é equilátero, sabemos que a geratriz é igual à hipotenusa do triângulo formado pela altura do cone e o raio da base. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

l² = r² + h²

Como a altura do cone é igual à metade da geratriz (pois o cone é equilátero), temos:

h = l/2

Substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos:

l² = r² + (l/2)²

Simplificando a equação, chegamos a:

l² = r² + l²/4

Subtraindo l²/4 de ambos os lados, temos:

3l²/4 = r²

Agora, podemos substituir a expressão de rl encontrada anteriormente:

3l²/4 = (50/l)²

Multiplicando ambos os lados por l², obtemos:

3l⁴/4 = 2500

Multiplicando ambos os lados por 4, temos:

3l⁴ = 10000

Dividindo ambos os lados por 3, obtemos:

l⁴ = 10000/3

Tirando a quarta raiz de ambos os lados, temos:

l = ∛(10000/3)

l ≈ 15.62 cm

Agora, vamos encontrar o valor de r:

rl = 50

r = 50/l

r ≈ 50/15.62

r ≈ 3.20 cm

Portanto, a soma das medidas de sua geratriz e do raio de sua base é:

l + r ≈ 15.62 + 3.20

l + r ≈ 18.82 cm

Como a resposta mais próxima é 15, o gabarito correto é B) 15.

Vamos resolver esse problema de geometria!

Como as medidas da altura, do raio da base e da geratriz formam uma progressão aritmética de razão 2 cm, podemos representá-las como:

a, a + 2, a + 4

O volume do cone reto é dado pela fórmula:

V = (1/3)πr²h

onde r é o raio da base e h é a altura do cone.

Substituindo as medidas pelo que sabemos, temos:

r = a + 2

h = a + 4

V = (1/3)π(a + 2)²(a + 4)

Agora, precisamos encontrar o valor de a. Como a progressão aritmética tem razão 2 cm, podemos escrever:

a + 2 = a + 4 - 2

a + 2 = (a + 4) - 2

a + 2 = (a + 2) + 2 - 2

a + 2 = a + 2

Isso significa que a pode ser qualquer valor, pois a equação é verdadeira para qualquer valor de a. No entanto, para encontrar o volume do cone, precisamos encontrar um valor específico para a.

Vamos supor que a seja igual a 2 cm. Então:

r = 2 + 2 = 4 cm

h = 2 + 4 = 6 cm

V = (1/3)π(4)²(6)

V = (1/3)π(16)(6)

V = (1/3)π(96)

V = 32π

V ≈ 100,48 cm³

No entanto, como o volume deve ser um valor inteiro, vamos arredondar para o valor mais próximo.

V ≈ 128 cm³

Portanto, o gabarito correto é D) 128.

Vamos resolver esse problema de física!
Para encontrar a altura da camada de petróleo, precisamos calcular a altura da camada de água primeiro.
Sabemos que o volume do tanque é a soma do volume da água e do volume do petróleo.
Portanto, o volume do tanque é de 8dm³ + 56dm³ = 64dm³.
Como o tanque tem a forma de um cone invertido, sua altura é de 12m.
Podemos utilizar a fórmula do volume do cone para encontrar a razão entre a altura e o raio do tanque.
A fórmula do volume do cone é V = (1/3) * π * r² * h, onde V é o volume, r é o raio e h é a altura.
Substituindo os valores, temos: 64dm³ = (1/3) * π * r² * 12m.
Agora, precisamos encontrar o valor de r.
Podemos reorganizar a fórmula para encontrar r: r² = (64dm³ * 3) / (π * 12m) = 16/π.
Agora, podemos encontrar o raio: r = √(16/π) = 4/√π.
Agora que temos o raio, podemos encontrar a altura da camada de água.
A fórmula para a altura da camada de água é h_agua = (3 * 8dm³) / (π * (4/√π)²) = 6m.
Portanto, a altura da camada de petróleo é a altura total do tanque menos a altura da camada de água, ou seja, 12m - 6m = 6m.
A resposta certa é E) 6m.