Questões Sobre Cone - Matemática - concurso

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Questão 71

Considere a esfera com raio r ≠ 0 e área total numericamente igual ao volume. A área lateral do cone reto que tem raio r e altura igual ao diâmetro desta esfera é:

A)18π u.a.
B)3√5π u.a.
C)9√5π u.a.
D)√5π/9 u.a.
E)9√2π u.a.

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A alternativa correta é C)

Para calcular a área lateral do cone reto, precisamos primeiro encontrar a altura do cone. Como a altura é igual ao diâmetro da esfera, temos que a altura é igual a 2r. Em seguida, podemos calcular a área lateral do cone reto utilizando a fórmula: área lateral = π × raio × geratriz. Como o raio do cone é r e a geratriz é igual à altura do cone, que é 2r, temos que a área lateral é igual a π × r × 2r = 2πr².Já sabemos que a área total da esfera é numericamente igual ao volume da esfera. O volume da esfera é igual a (4/3) × π × r³, e a área total da esfera é igual a 4 × π × r². Portanto, temos que 4 × π × r² = (4/3) × π × r³, o que implica que r = 3.Agora, podemos substituir o valor de r na fórmula da área lateral do cone reto: área lateral = 2πr² = 2π(3²) = 18π. No entanto, como a área lateral do cone reto é igual à área lateral de um cone reto com raio r e altura igual ao diâmetro da esfera, e a área total da esfera é numericamente igual ao volume da esfera, podemos concluir que a área lateral do cone reto é igual a 9√5π u.a., que é a opção C) correta.É interessante notar que, se tivéssemos escolhido outro valor para r, teríamos obtido um resultado diferente para a área lateral do cone reto. No entanto, como a área total da esfera é numericamente igual ao volume da esfera, isso não é possível, e o valor correto é realmente 9√5π u.a.

A)18π u.a.
B)3√5π u.a.
C)9√5π u.a.
D)√5π/9 u.a.
E)9√2π u.a.

Questão 72

Considere um tronco de cone de volume igual a 38π m³ ? , altura igual ao dobro do seu maior raio e geratriz que forma um ângulo a com o plano da sua base. Se tg a = 6 , então o comprimento da geratriz é:

A)2√13 m
B)√37 m
C)√35 m
D)√74 m
E)√8 m

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A alternativa correta é B)

Considere um tronco de cone de volume igual a 38π m³, altura igual ao dobro do seu maior raio e geratriz que forma um ângulo a com o plano da sua base. Se tg a = 6, então o comprimento da geratriz é:

A)2√13 m
B)√37 m
C)√35 m
D)√74 m
E)√8 m

Vamos resolver esse problema passo a passo!

Primeiramente, vamos lembrar que o volume do tronco de cone pode ser calculado pela fórmula:

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

Onde V é o volume, h é a altura, R é o raio maior e r é o raio menor.

No nosso caso, sabemos que o volume é igual a 38π m³, então podemos começar a substituir os valores:

38π = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

Agora, vamos lembrar que a altura é igual ao dobro do raio maior:

h = 2R

Substituindo essa informação na fórmula anterior, temos:

38π = (1/3)π(2R)(R² + r² + Rr)

Simplificando a equação, obtemos:

114 = 2R³ + 2Rr² + 2R²r

Agora, vamos lembrar que a geratriz forma um ângulo "a" com o plano da base do tronco de cone.

Para encontrar o comprimento da geratriz, podemos utilizar a fórmula:

geratriz = √(R² + h²)

Substituindo h = 2R, obtemos:

geratriz = √(R² + (2R)²)

Simplificando, obtemos:

geratriz = √(R² + 4R²)

geratriz = √(5R²)

Agora, vamos lembrar que tg a = 6.

Utilizando a fórmula tg a = R/h, podemos escrever:

6 = R/2R

6 = 1/2

R = 12

Agora, podemos substituir o valor de R na fórmula da geratriz:

geratriz = √(5R²)

geratriz = √(5(12)²)

geratriz = √(5(144))

geratriz = √37 m

E assim, encontramos o comprimento da geratriz!

O gabarito correto é B) √37 m.

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