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Qual a razão entre o volume de um cone de altura h e raio R e um prisma com mesma altura e base hexagonal regular de lado R?
Qual a razão entre o volume de um cone de altura h e raio R e um prisma com mesma altura e base hexagonal regular de lado R?
- A)π√3π√3/6
- B)π√3π√3/2
- C)2π√3π√3/9
- D)2π√3π√3/3
Resposta:
A alternativa correta é C)
Vamos resolver essa questão juntos! Para começar, vamos lembrar que o volume de um cone é dado pela fórmula V = (1/3) × π × R² × h, onde R é o raio da base e h é a altura do cone.
Já o volume do prisma hexagonal é dado pela fórmula V = Área da base × altura. Nesse caso, a base é um hexágono regular de lado R, então precisamos calcular sua área.
Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado R. Cada triângulo tem área igual a (√3/4) × R², então a área total do hexágono é 6 × (√3/4) × R² = (√3 × 3/2) × R².
Agora, podemos calcular o volume do prisma: V = (√3 × 3/2) × R² × h.
A razão entre o volume do cone e o volume do prisma é dada por:
V_cone / V_prisma = [(1/3) × π × R² × h] / [ (√3 × 3/2) × R² × h]
Simplificando a expressão, obtemos:
V_cone / V_prisma = (2π√3) / 9
E isso é exatamente a opção C) 2π√3/9!
Essa foi a razão pela qual a resposta certa é a opção C).
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