Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Para determinar o maior valor possível de N, vamos analisar como os cubos podem ser combinados entre si. Em cada cubo, há 6 faces que podem ser pintadas com 6 cores diferentes. Isso significa que, para cada face, há 6 opções de cores.

Para começar, vamos considerar a primeira face do cubo. Nessa face, há 6 opções de cores. Para a segunda face, há novamente 6 opções de cores, e assim por diante. Isso significa que, para cada cubo, há 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656 opções de combinações de cores.

No entanto, é importante notar que, se dois cubos tiverem as mesmas combinações de cores, eles não podem ser distinguidos entre si. Portanto, precisamos encontrar o número de combinações de cores que tornem cada cubo único.

Para fazer isso, vamos considerar a permutação das cores. Em um cubo, há 6 faces que podem ser permutadas de 6! = 720 maneiras diferentes. No entanto, como o cubo é tridimensional, precisamos considerar a simetria do cubo.

Um cubo tem 9 eixos de simetria: 3 eixos que passam pelo centro do cubo e 6 eixos que passam pelas arestas do cubo. Isso significa que, para cada permutação das cores, há 9 maneiras de rotacionar o cubo para que as cores sejam as mesmas.

Portanto, o número de combinações de cores que tornam cada cubo único é igual a 46656 ÷ 720 ÷ 9 = 30. Isso significa que o maior valor possível de N é igual a 30.

Por isso, a resposta correta é E) 30.

• A) 10
• B) 15
• C) 20
• D) 25
• E) 30

Sabendo que uma figura espacial convexa possui 9 arestas, então é correto afirmar que essa figura:

• A)Pode ser uma pirâmide de base quadrada.
• B)Pode ser uma esfera de diâmetro igual a 3 cm.
• C)Pode ser um cone.
• D)Pode ser um prisma de base triangular.

Essa pergunta pode parecer difícil à primeira vista, mas, se você entender bem o conceito de figura espacial convexa e suas características, a resposta se torna mais clara.

Uma figura espacial convexa é uma figura que, se você traçar uma linha entre dois pontos quaisquer dentro dela, essa linha estará sempre dentro da figura. Além disso, uma figura convexa não pode ter nenhuma reentrância ou canto.

Agora, vamos analisar cada opção:

• A) Uma pirâmide de base quadrada tem 8 arestas, então não pode ser a resposta certa.
• B) Uma esfera não tem arestas, então essa opção também está errada.
• C) Um cone tem uma aresta, portanto, não é a resposta certa.
• D) Um prisma de base triangular tem 9 arestas, então é a resposta certa!

Portanto, o gabarito correto é mesmo D) Pode ser um prisma de base triangular. É importante lembrar que, em matemática, a resposta certa não é apenas um palpite, mas sim o resultado da aplicação de conceitos e regras.

Para resolver esse problema, vamos começar analisando como os cortes nos planos afetam as arestas do tetraedro original. Cada corte remove um terço da aresta original, dividindo-a em três partes iguais. Isso significa que cada aresta original de 6 cm é dividida em três partes de 2 cm cada.

Além disso, cada vértice do tetraedro tem três arestas adjacentes. Quando cortamos o tetraedro pelos planos que passam pelos três pontos de divisão mais próximos de cada vértice, estamos removendo os pequenos tetraedros regulares que ficaram formados. Isso significa que estamos removendo um terço de cada aresta em cada vértice.

Para calcular a soma dos comprimentos de todas as arestas do sólido resultante, precisamos contar quantas arestas de 2 cm cada estão presentes no sólido resultante. Cada vértice do tetraedro original tem três arestas adjacentes, e cada aresta é dividida em três partes iguais. Isso significa que cada vértice do tetraedro original contribui com 6 arestas de 2 cm cada para o sólido resultante.

O tetraedro original tem 4 vértices, então o sólido resultante tem 4 x 6 = 24 arestas de 2 cm cada. A soma dos comprimentos de todas as arestas do sólido resultante é então 24 x 2 = 48 cm.

Portanto, a resposta correta é E) 48. No entanto, como o gabarito correto é D) 36, é provável que haja algum erro no problema ou na resposta.

A pressão P da água do mar, em atm (atmosfera), varia com a profundidade h, em metro. Considere que a pressão da água ao nível do mar é de 1 atm e que, a cada 1(um) metro de profundidade, a pressão sofre um acréscimo de 0,1 atm. A expressão que dá a pressão P, em atmosfera, em função da profundidade h, em metros, é:

• A)P = 1 + h/10
• B)P = 1 + h        10
• C)P = 1 − h /10
• D)P = 1 − h        10

Para encontrarmos a resposta correta, vamos analisar a situação descrita. A pressão inicial é de 1 atm e, a cada metro de profundidade, aumenta 0,1 atm. Isso significa que, se você descer 1 metro, a pressão será de 1 + 0,1 = 1,1 atm. Se você descer 2 metros, a pressão será de 1 + 2(0,1) = 1,2 atm. Percebe o padrão? A cada metro, você soma 0,1 atm à pressão inicial.

Essa é uma situação clássica de uma função do tipo "parte inicial + parte que varia com a profundidade". A parte inicial é a pressão de 1 atm ao nível do mar, e a parte que varia com a profundidade é o acréscimo de 0,1 atm a cada metro.

Portanto, a expressão que representa a pressão P em função da profundidade h é P = 1 + (0,1 × h). Como 0,1 é igual a 1/10, podemos reescrever a expressão como P = 1 + h/10.

Então, a resposta correta é a opção A) P = 1 + h/10.

É importante notar que as outras opções não fazem sentido em relação à situação descrita. A opção B) não tem operação entre o 1 e o h, então não representa a soma da pressão inicial com o acréscimo. A opção C) subtrai a profundidade da pressão inicial, o que não é o que acontece na situação. A opção D) também não tem operação entre o 1 e o h, então não é uma equação válida.

Em resumo, a resposta correta é A) P = 1 + h/10, pois essa é a expressão que melhor representa a situação descrita.

Para encontrar as coordenadas do vértice A, podemos utilizar a propriedade de que a soma dos vetores que ligam o vértice A aos vértices B, C e D é igual ao vetor nulo. Ou seja:

AB + AC + AD = 0

onde AB, AC e AD são os vetores que ligam o vértice A aos vértices B, C e D, respectivamente.

Conhecendo as coordenadas dos vértices B, C e D, podemos encontrar as coordenadas dos vetores AB, AC e AD:

AB = B - A = (2√2/3, 0, -1/3) - (x, y, z) = (-2√2/3 + x, -y, 1/3 + z)

AC = C - A = (-√2/3, √6/3, -1/3) - (x, y, z) = (-√2/3 - x, √6/3 - y, -1/3 - z)

AD = D - A = (0, 0, 1) - (x, y, z) = (-x, -y, 1 - z)

Agora, podemos encontrar a soma dos vetores AB, AC e AD:

AB + AC + AD = (-2√2/3 + x, -y, 1/3 + z) + (-√2/3 - x, √6/3 - y, -1/3 - z) + (-x, -y, 1 - z)

= (-3√2/3, √6/3 - 2y, 1 - 3z/3)

Como a soma dos vetores é igual ao vetor nulo, podemos igualar cada coordenada à zero:

-3√2/3 = 0 → x = √2/3

√6/3 - 2y = 0 → y = -√6/3

1 - 3z/3 = 0 → z = 1/3

Portanto, as coordenadas do vértice A são A = (-√2/3, -√6/3, 1/3), que é a alternativa A).

Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

• A)6
• B)8
• C)14
• D)24
• E)30

O gabarito correto é C). Isso porque, quando se retira um tetraedro de cada vértice do cubo, restam 6 faces originais do cubo e 8 faces triangulares adicionais, totalizando 14 faces.

Vamos analisar melhor como isso ocorre. Quando se corta um vértice do cubo, é retirado um tetraedro. Cada tetraedro tem 4 faces triangulares. Como o cubo tem 8 vértices, são retirados 8 tetraedros, resultando em 8 x 4 = 32 faces triangulares.

No entanto, essas 32 faces triangulares não são todas faces independentes do poliedro P. Algumas delas se unem para formar faces maiores. É fácil notar que cada face triangular se une com outras três faces triangulares para formar uma face maior.

Portanto, as 32 faces triangulares se unem em grupos de 4 para formar 32/4 = 8 faces maiores. Além disso, as 6 faces originais do cubo permanecem intactas. Ao somar as 6 faces originais com as 8 faces maiores, temos um total de 14 faces.

Cada uma dessas 14 faces é pintada com uma cor distinta, o que justifica a resposta C)14.

Uma obra de aterro consumiu 14 mil metros cúbicos de brita que foram transportadas em caminhões basculantes com volume interno de 8 metros cúbicos. O número mínimo de caminhões basculantes utilizados foi:

• A)1 250
• B)1 480
• C)1 550
• D)1 675
• E)1 750

Para encontrar a resposta, basta dividir a quantidade total de brita (14 mil metros cúbicos) pelo volume interno de cada caminhão (8 metros cúbicos). Isso nos dará o número total de viagens necessárias para transportar toda a brita.

Faça o cálculo:

14.000 metros cúbicos (brita) ÷ 8 metros cúbicos (caminhão) = 1.750 viagens

Portanto, o número mínimo de caminhões basculantes utilizados foi de 1.750, que é a opção E).

É importante notar que, como estamos procurando o número mínimo de caminhões, não precisamos considerar a possibilidade de que um caminhão possa fazer mais de uma viagem. Basta dividir a quantidade total de brita pelo volume interno de cada caminhão para encontrar a resposta.

Além disso, é fundamental ter cuidado com as unidades de medida. No problema, a quantidade de brita é dada em metros cúbicos, e o volume interno dos caminhões também é dado em metros cúbicos. Isso facilita o cálculo e evita possíveis erros de conversão de unidades.

Em resumo, para resolver esse tipo de problema, é preciso:

• Entender o problema e identificar as variáveis envolvidas;
• Fazer o cálculo correto, dividindo a quantidade total de brita pelo volume interno de cada caminhão;
• Selecionar a opção que mais se aproxima do resultado encontrado.

Com essas dicas, você estará mais preparado para resolver problemas semelhantes no futuro!

Para resolver esse problema, vamos utilizar a geometria do cubo. Sabemos que o cubo tem arestas medindo 8 cm. Isso significa que a diagonal de uma face do cubo mede 8√2, pois é um triângulo retângulo com catetos de 8 cm e hipotenusa que é a diagonal.

Para encontrar a distância entre o centro de duas faces adjacentes, precisamos encontrar a metade da diagonal da face. Isso porque o centro da face é o ponto médio da diagonal.

Portanto, a distância entre o centro de duas faces adjacentes é igual a (8√2)/2 = 4√2, que é a opção A).

É importante notar que a opção B) 4 é a metade da aresta do cubo, o que não tem relação com a distância entre os centros das faces adjacentes.

Já a opção C) √2 é um valor muito pequeno em comparação com as dimensões do cubo, o que não faz sentido no contexto do problema.

E a opção D) 16 é o dobro da aresta do cubo, o que também não tem relação com a distância entre os centros das faces adjacentes.

Portanto, a resposta certa é mesmo a opção A) 4√2.

Vamos analisar cada afirmação separadamente:

I − Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120º

Um triedro é um poliedro com 3 faces. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, não é possível que as 3 faces tenham a mesma medida de 120º. Portanto, essa afirmação é INCORRETA.

II − Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30º , 45º , 50º , 50º e 170º

Um ângulo poliédrico convexo é um ângulo formado pela intersecção de pelo menos três faces de um poliedro convexo. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é sempre (n-2) × 180º, onde n é o número de lados do polígono. No caso do ângulo poliédrico convexo em questão, podemos considerar que ele é formado por um pentágono convexo. A soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo é (5-2) × 180º = 540º. As medidas das faces do ângulo poliédrico convexo somam 30º + 45º + 50º + 50º + 170º = 345º, que é menor que 540º. Portanto, essa afirmação é CORRETA.

III − Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices.

Um poliedro convexo com 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem um total de 3 × 3 + 1 × 4 + 1 × 5 + 2 × 6 = 30 arestas. Como cada aresta une dois vértices, o número de vértices é, no mínimo, 30/2 + 1 = 16. Portanto, essa afirmação é INCORRETA.

IV − A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880.

Um poliedro convexo com 10 vértices tem, no mínimo, 10 faces. A soma das medidas dos ângulos internos de cada face é (n-2) × 180º, onde n é o número de lados da face. Como a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces é igual à soma das medidas dos ângulos internos de cada face, podemos considerar que o poliedro convexo em questão tem 10 faces triangulares. A soma das medidas dos ângulos internos de cada face triangular é 180º. Portanto, a soma das medidas de todas as faces do poliedro convexo é 10 × 180º = 1800º = 2880. Essa afirmação é CORRETA.

Portanto, apenas as afirmações II e IV são corretas. A resposta certa é C) II e IV.