Considere as afirmações: I − Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120º II − Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30º , 45º , 50º , 50º e 170º . III − Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices. IV − A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880. Destas, é(são) correta(s) apenas

Vamos analisar cada afirmação separadamente:

I − Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120º

Um triedro é um poliedro com 3 faces. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, não é possível que as 3 faces tenham a mesma medida de 120º. Portanto, essa afirmação é INCORRETA.

II − Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30º , 45º , 50º , 50º e 170º

Um ângulo poliédrico convexo é um ângulo formado pela intersecção de pelo menos três faces de um poliedro convexo. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é sempre (n-2) × 180º, onde n é o número de lados do polígono. No caso do ângulo poliédrico convexo em questão, podemos considerar que ele é formado por um pentágono convexo. A soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo é (5-2) × 180º = 540º. As medidas das faces do ângulo poliédrico convexo somam 30º + 45º + 50º + 50º + 170º = 345º, que é menor que 540º. Portanto, essa afirmação é CORRETA.

III − Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices.

Um poliedro convexo com 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem um total de 3 × 3 + 1 × 4 + 1 × 5 + 2 × 6 = 30 arestas. Como cada aresta une dois vértices, o número de vértices é, no mínimo, 30/2 + 1 = 16. Portanto, essa afirmação é INCORRETA.

IV − A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880.

Um poliedro convexo com 10 vértices tem, no mínimo, 10 faces. A soma das medidas dos ângulos internos de cada face é (n-2) × 180º, onde n é o número de lados da face. Como a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces é igual à soma das medidas dos ângulos internos de cada face, podemos considerar que o poliedro convexo em questão tem 10 faces triangulares. A soma das medidas dos ângulos internos de cada face triangular é 180º. Portanto, a soma das medidas de todas as faces do poliedro convexo é 10 × 180º = 1800º = 2880. Essa afirmação é CORRETA.

Portanto, apenas as afirmações II e IV são corretas. A resposta certa é C) II e IV.