Deseja-se construir uma caixa, sem a tampa, na forma de paralelepípedo retângulo reto de base quadrada, com volume de 2 m3 . Qual deve ser a medida, em metros, do lado da base, para que a área total da caixa seja a menor possível?

Para resolver esse problema, vamos começar analisando a forma da caixa. Como a base é quadrada, temos que os lados da base são iguais. Vamos chamá-los de x. Além disso, como o volume da caixa é de 2 m³, podemos escrever:

x²h = 2

Onde h é a altura da caixa.

Agora, vamos calcular a área total da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área total é a soma das áreas das laterais e da base:

A = 4xh + x²

Substituindo x²h = 2 na equação acima, obtemos:

A = 4x(2/x²) + x²

A = 8/x + x²

Para encontrar o valor de x que minimiza a área total, vamos derivar A em relação a x e igualar a zero:

dA/dx = -8/x² + 2x = 0

Resolvendo essa equação, encontramos:

x³ = 4

x = ∛4 = 1,26 m

Portanto, a medida do lado da base que minimiza a área total da caixa é de aproximadamente 1,26 metros.

• A) 0,5 m
• B) 1,26 m
• C) 1,5 m
• D) 2 m
• E) 2,5 m

O gabarito correto é B) 1,26 m.