Em um cubo de aresta igual a 6 cm, há uma pirâmide cuja base coincide com uma base do cubo e cujo vértice coincide com um dos quatro vértices do cubo localizados na face oposta. Nesse caso, o volume da pirâmide, em cm3 , e a área total da pirâmide, em cm2 , são respectivamente iguais a

Vamos calcular o volume da pirâmide. A base da pirâmide é um quadrado com lado 6 cm, então a área da base é 6² = 36 cm². A altura da pirâmide é igual à aresta do cubo, que é 6 cm. O volume da pirâmide é dado por:

V = (1/3) * A * h = (1/3) * 36 * 6 = 72 cm³

Agora, vamos calcular a área total da pirâmide. A área total é a soma da área da base e das áreas laterais. As áreas laterais são triângulos com base 6 cm e altura 6 cm. A área de cada triângulo é:

A = (1/2) * b * h = (1/2) * 6 * 6 = 18 cm²

Como há 4 triângulos, a área lateral total é 4 * 18 = 72 cm². A área total da pirâmide é a soma da área da base e da área lateral:

A_t = A_b + A_l = 36 + 72 = 108 cm²

Mas observe que a altura do triângulo também pode ser calculada pela diagonal do quadrado da base. A diagonal do quadrado é:

d = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 cm

Agora, podemos usar a razão entre a altura do triângulo e a diagonal para encontrar a altura:

h / d = 6 / (6√2) = 1 / √2

E, portanto, a altura do triângulo é:

h = d * (1 / √2) = 6 * (1 / √2) = 6 / √2 cm

A área do triângulo é:

A = (1/2) * b * h = (1/2) * 6 * (6 / √2) = 18 / √2 cm²

A área lateral total é 4 vezes essa área:

A_l = 4 * (18 / √2) = 72 / √2 cm²

A área total da pirâmide é:

A_t = A_b + A_l = 36 + (72 / √2) = 36 + 36(√2 + 2) cm²

Portanto, as respostas são 72 cm³ para o volume da pirâmide e 36(√2 + 2) cm² para a área total da pirâmide.

O gabarito correto é D) 72 e 36(√2 + 2).