Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3 . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:
Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3 . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:
- A)15
- B)16
- C)17
- D)18
Resposta:
A alternativa correta é B)
Vamos calcular o volume do recipiente: V = 40 cm × 25 cm × 20 cm = 20.000 cm³.
O volume de cada esfera é 0,5 cm³, então, vamos calcular o número de esferas necessárias para que o volume total seja maior do que o volume do recipiente.
Na primeira etapa, há 1 esfera; na segunda, 2; na terceira, 4; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Isso significa que, na enésima etapa, há 2^(n-1) esferas.
O volume total de esferas na enésima etapa é então 2^(n-1) × 0,5 cm³ = 2^(n-2) cm³.
Queremos saber qual é o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente, ou seja, para que 2^(n-2) > 20.000.
Como 2^10 = 1000, podemos reescrever a desigualdade como 2^(n-2) > 20 × 1000.
Isso é equivalente a 2^(n-2) > 2^4 × 1000, ou seja, 2^(n-2) > 2^(4+10), que é 2^(n-2) > 2^14.
Portanto, n-2 > 14, ou seja, n > 16. Como n deve ser um número inteiro, o menor número de etapas necessárias é 16.
Portanto, a resposta certa é B) 16.
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