Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a



$frac{asqrt{3}}{2}$.

• E) $a$
• D) $frac{asqrt{3}}{2}$
• C) $frac{asqrt{2}}{2}$
• B) $frac{a}{2}$
• A) $frac{a}{sqrt{3}}$

Para resolver esse problema, podemos começar desenhando um tetraedro regular e identificando as arestas não adjacentes. Em seguida, podemos desenhar os pontos médios dessas arestas e calcular a distância entre eles. Utilizando as propriedades de um triângulo equilátero, podemos encontrar a resposta.

Vamos começar desenhando o tetraedro regular. Cada lado do tetraedro tem comprimento $a$. Em seguida, vamos identificar as arestas não adjacentes. Por exemplo, se escolhermos uma aresta, podemos identificar as outras três arestas que não são adjacentes a ela.

Agora, vamos desenhar os pontos médios dessas arestas. Os pontos médios se encontram no meio de cada aresta. Em seguida, vamos calcular a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes. Vamos chamar esses pontos de $M$ e $N$.

A distância entre $M$ e $N$ é igual à distância entre os pontos médios de dois lados de um triângulo equilátero de lado $a$. Isso ocorre porque as arestas do tetraedro são paralelas entre si e têm o mesmo comprimento. Portanto, podemos utilizar as propriedades de um triângulo equilátero para encontrar a resposta.

No triângulo equilátero de lado $a$, a altura é igual a $frac{asqrt{3}}{2}$. Isso ocorre porque a altura de um triângulo equilátero é igual à metade da diagonal do quadrado que circunscreve o triângulo. Portanto, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a $frac{asqrt{3}}{2}$.

Portanto, a resposta certa é D) $frac{asqrt{3}}{2}$.