m um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km2, a área total que está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.

Vamos analisar a situação e encontrar a área total protegida pelos três canhões. Como os círculos são tangentes entre si, podemos desenhar um diagrama para melhor visualizar a situação:

Como os canhões têm capacidade de giro horizontal de 360°, cada canhão está no centro de um círculo. Vamos calcular o raio de cada círculo.

Seja rA o raio do canhão A, rB o raio do canhão B e rC o raio do canhão C. Como as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, podemos escrever as seguintes equações:

• rA + rB = 9
• rB + rC = 8
• rA + rC = 6

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:

• rA = 4
• rB = 5
• rC = 2

Agora, podemos calcular a área de cada círculo:

• A_A = π × (rA)² = 16π
• A_B = π × (rB)² = 25π
• A_C = π × (rC)² = 4π

Para encontrar a área total protegida, precisamos calcular a área da união dos três círculos. Como os círculos são tangentes entre si, a área da união é igual à soma das áreas dos círculos, menos a área dos triângulos formados pelas interseções.

Calculando a área dos triângulos, encontramos:

• A_AB = (9 × 4) / 2 = 18
• A_BC = (8 × 5) / 2 = 20
• A_AC = (6 × 2) / 2 = 6

Agora, podemos calcular a área total protegida:

A_total = A_A + A_B + A_C - A_AB - A_BC - A_AC = 16π + 25π + 4π - 18 - 20 - 6 = 195π/4

Portanto, a área total protegida pelos três canhões é de 195π/4 km², que é a opção D).