Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Em um cubo de aresta a, a distância entre um vértice e o centro da face oposta é igual a

• E)

A resposta certa é A) a√2/2, pois essa distância é igual à metade da diagonal da face do cubo.

Para entender melhor, vamos analisar a figura abaixo:

Observamos que a distância entre o vértice V e o centro da face oposta O é igual à metade da diagonal da face, que é igual a a√2.

Portanto, a distância entre o vértice e o centro da face oposta é igual a a√2/2.

Já que a resposta certa é A) a√2/2, vamos entender por que as outras opções estão erradas:

• B) a/2: essa é a distância entre o vértice e o centro do cubo, e não entre o vértice e o centro da face oposta.
• C) a√3/2: essa é a distância entre o vértice e o centro da face adjacente, e não entre o vértice e o centro da face oposta.
• D) a: essa é a aresta do cubo, e não a distância entre o vértice e o centro da face oposta.
• E) 2a: essa é duas vezes a aresta do cubo, e não a distância entre o vértice e o centro da face oposta.

Portanto, a resposta certa é A) a√2/2.

Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que:
- uma das dimensões da base seja o triplo da outra;
- o volume seja de 2 304 cm3.

Nessas condições, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, vamos chamar as dimensões da base de x e 3x, pois uma delas é o triplo da outra. Além disso, vamos chamar a altura de h.

O volume do bloco retangular é dado pelo produto das três dimensões: V = x * 3x * h. Substituindo o volume pelo valor dado, temos:

2 304 = x * 3x * h

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar a altura h:

h = 2 304 / (x * 3x)

h = 2 304 / (3x²)

h = 768 / x²

Agora, precisamos encontrar o valor de x que minimiza o gasto de material. Isso ocorre quando a área da base é mínima. A área da base é dada por A = x * 3x = 3x².

Vamos derivar a área em relação a x e igualar a zero para encontrar o valor de x que minimiza a área:

dA/dx = 6x = 0

x = 0 não é uma solução razoável, pois não há caixa com dimensão nula.

Vamos encontrar outro valor de x que minimize a área. Observamos que a área é mínima quando x é o menor possível.

Como o volume é de 2 304 cm³, podemos rearranjar a equação do volume para encontrar o valor de x:

2 304 = x * 3x * h

Como x é o menor possível, vamos escolher um valor de x que seja o menor possível. Vamos escolher x = 8, pois é o menor valor que satisfaz a equação do volume.

Substituindo x = 8 na equação do volume, encontramos:

2 304 = 8 * 3 * 8 * h

h = 12

Portanto, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir 12.

• A)11.
• B)12.
• C)12,5.
• D)15.
• E)15,5.

O gabarito correto é B) 12.

Em uma Unidade de uma Repartição Pública vai ser construído um anfiteatro com as seguintes especificações:

a sua forma deverá ser semelhante à de um paralelepípedo retângulo;

- deverá acomodar no máximo 270 pessoas;

- a medida do comprimento do seu piso deverá ser igual ao triplo da medida da largura;

- a altura do anfiteatro deverá medir 3,6 m.

Supondo que para cada pessoa seja necessário um volume de 4 m³, então a área do piso dessa sala, em metros quadrados, será de

Vamos calcular a área do piso do anfiteatro. Como o comprimento é igual ao triplo da largura, podemos representar as medidas do piso como l (largura) e 3l (comprimento). A área do piso é então igual a l × 3l = 3l².

Para calcular a área do piso, precisamos calcular o volume do anfiteatro, que é igual ao produto da área do piso pela altura. Como o volume total é igual ao volume por pessoa vezes o número de pessoas, podemos escrever a equação:

4 m³/pessoa × 270 pessoas = A × 3,6 m, onde A é a área do piso.

Resolvendo a equação, temos:

A = (4 m³/pessoa × 270 pessoas) / 3,6 m = 300 m².

Portanto, a área do piso do anfiteatro é de 300 m².

• A) 300
• B) 345
• C) 360
• D) 375
• E) 390

Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com as seguintes dimensões: 1,5 m de comprimento, 1 m de largura e 0,5 m de altura. Considerando-se desprezível a espessura de suas paredes, a capacidade desse recipiente, em litros, é

• A)50
• B)75
• C)500
• D)750
• E)7 500

Vamos calcular a capacidade do recipiente. Para isso, precisamos encontrar o volume do paralelepípedo retângulo. O volume é calculado multiplicando-se o comprimento, a largura e a altura.

V = C x L x A

V = 1,5 m x 1 m x 0,5 m

V = 0,75 m³

Agora, para encontrar a capacidade em litros, basta converter o volume de metros cúbicos para litros. Como 1 metro cúbico é igual a 1000 litros, temos:

0,75 m³ x 1000 L/m³ = 750 L

Portanto, a resposta certa é a opção D) 750.

Essa foi uma questão de física básica, mas é importante lembrar que a capacidade de um recipiente depende de sua forma e tamanho. Em problemas como esse, é fundamental ter cuidado com as unidades e converter corretamente os valores.

Além disso, é interessante notar que a forma do recipiente pode afetar sua capacidade. Por exemplo, se o recipiente tivesse a forma de um cilindro, sua capacidade seria diferente. Isso porque o volume de um cilindro é calculado de forma diferente do volume de um paralelepípedo retângulo.

Em resumo, para resolver problemas como esse, é necessário ter conhecimento de física básica, saber converter unidades e ter atenção aos detalhes. Com essas habilidades, você estará pronto para resolver questões mais desafiadoras!