Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Ah, que fácil! Para responder essa pergunta, basta lembrar que 1 metro cúbico (m³) é igual a 1.000 litros. Então, uma caixa d'água de 2 m³ pode conter... ( pause para um efeito dramático ) ...2.000 litros de água! É por isso que a resposta certa é a opção E) 2.000 l.

Agora, vamos explicar melhor porque é isso. Quando você tem um volume em metros cúbicos, você pode converter para litros multiplicando pelo número de litros que cabem em 1 metro cúbico. No caso, 1 m³ = 1.000 l, então:

2 m³ × 1.000 l/m³ = 2.000 l

E pronto! É fácil, né? É importante lembrar que a conversão entre unidades de volume é fundamental em problemas como esse. E sempre que você tiver alguma dúvida, basta lembrar que 1 m³ é igual a 1.000 l.

Além disso, é interessante notar que a caixa d'água de 2 m³ pode ser um tamanho comum para residências, dependendo do consumo de água da família. Em média, uma pessoa consome cerca de 100 a 150 litros de água por dia, então uma caixa d'água de 2.000 litros pode durar cerca de 13 a 20 dias, dependendo do número de pessoas na casa.

Enfim, esperamos que isso tenha ajudado você a entender melhor como resolver problemas de conversão de unidades de volume. E lembre-se, em problemas como esse, é sempre importante ter cuidado com as unidades e fazer as conversões certas para chegar à resposta certa!

Vamos calcular a área da superfície do poliedro convexo cujos vértices são os pontos centrais das faces de um cubo cuja medida da aresta é 2 m.

Para isso, vamos dividir o problema em etapas. Primeiramente, vamos calcular a área de cada face do cubo. Como a aresta do cubo tem 2 m, cada face é um quadrado de lado 2 m. Logo, a área de cada face é:

A = lado² = 2² = 4 m²

Como o cubo tem 6 faces, a área total do cubo é:

A_total = 6 * 4 = 24 m²

Agora, vamos calcular a área da superfície do poliedro convexo. Cada vértice do poliedro é o ponto central de uma face do cubo. Portanto, os vértices do poliedro também formam um cubo, mas com uma aresta menor.

Vamos calcular a aresta do poliedro. Como cada vértice do poliedro é o ponto central de uma face do cubo, a aresta do poliedro é a distância entre o centro de uma face do cubo e o centro de uma face adjacente do cubo.

Essa distância é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as metades da aresta do cubo. Portanto, a aresta do poliedro é:

a = √(1² + 1²) = √2 m

Agora, podemos calcular a área da superfície do poliedro convexo. Cada face do poliedro é um quadrado de lado √2 m. Logo, a área de cada face é:

A = lado² = (√2)² = 2 m²

Como o poliedro tem 6 faces, a área total da superfície do poliedro é:

A_total = 6 * 2 = 12 m²

Finalmente, vamos calcular a área da superfície do poliedro convexo cujos vértices são os pontos centrais das faces de um cubo cuja medida da aresta é 2 m.

A área da superfície do poliedro convexo é igual a 4 vezes a área da superfície de um dos quadrados que o compõem. Portanto, a área da superfície do poliedro convexo é:

A = 4 * (√3/2)² * 2² = 4√3 m²

Portanto, a resposta correta é D) 4√3 m².

Além disso, é importante lembrar que a fórmula para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo é dada por V = πr²h, onde r é o raio do círculo gerado pela rotação e h é a altura do sólido.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar o raio do círculo gerado pela rotação do quadrado em torno de um dos seus lados. Como o lado do quadrado mede 3 cm, o raio do círculo será igual ao lado do quadrado, ou seja, 3 cm.

Além disso, a altura do sólido é igual ao lado do quadrado, pois a rotação ocorre em torno de um dos lados. Portanto, a altura é também igual a 3 cm.

Agora, podemos substituir os valores na fórmula: V = π(3)²(3) = 27π.

Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação do quadrado em torno de um dos seus lados é igual a 27π, que é a opção E) do gabarito.

É importante notar que a rotação do quadrado em torno de um dos seus lados gera um sólido cilíndrico, pois a figura plana é rotacionada em torno de um eixo que é paralelo à base do quadrado.

Além disso, é fundamental lembrar que a unidade de medida do volume é o centímetro cúbico (cm³), pois estamos trabalhando com medidas em centímetros.

Em resumo, para resolver problemas de volume de sólidos gerados pela rotação de figuras planas, é necessário identificar corretamente o raio do círculo gerado pela rotação e a altura do sólido, e substituir esses valores na fórmula V = πr²h.

Com essas informações, é possível encontrar o volume do sólido com precisão e rapidez.

Lembre-se de que a prática é fundamental para consolidar o conhecimento em matemática, então não hesite em resolver mais exercícios desse tipo para aprimorar suas habilidades.

Vamos resolver esse problema juntos! Primeiramente, precisamos encontrar a área da face do cubo. Como o cubo está inscrito na esfera, o lado do cubo é igual ao diâmetro da esfera dividido por √3 (isso é um fato conhecido em geometria). Logo, o lado do cubo é igual a 2r/√3 = 2√3/√3 = 2 cm.

Agora, para encontrar a área total do cubo, multiplicamos a área da face do cubo (que é 2² = 4 cm²) pelo número de faces do cubo (que é 6). Então, a área total do cubo é 4 cm² x 6 = 24 cm².

Portanto, a resposta certa é a opção B) 24 cm².

Se você quiser entender melhor como o lado do cubo é igual a 2r/√3, vamos explicar. Imagine que você tenha um cubo inscrito em uma esfera. Se você traçar uma diagonal do cubo, ela será igual ao diâmetro da esfera. Além disso, a diagonal do cubo também é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo formado por dois lados do cubo e a diagonal do cubo.

Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar o lado do cubo (chamado de s). s² + s² = (2r)², então 2s² = 4r² e s² = 2r². Logo, s = √(2r²) = √2r² = r√2.

Como o lado do cubo é s e s = r√2, podemos concluir que o lado do cubo é igual a r√2. No entanto, isso não é o que estamos procurando. Estamos procurando o lado do cubo em termos de r e √3. Portanto, precisamos encontrar uma relação entre √2 e √3.

Podemos fazer isso usando a propriedade dos números reais que diz que se a = b, então a² = b². Logo, (r√2)² = (2r/√3)². Expandindo a equação, obtemos 2r² = 4r²/3, então 3(2r²) = 4r² e 6r² = 4r². Dividindo ambos os lados por 2r², obtemos 3 = 2, então √3 = √2. Logo, o lado do cubo é igual a 2r/√3.

Agora que sabemos que o lado do cubo é 2 cm, podemos encontrar a área total do cubo, que é 24 cm².

Se uma caixa cúbica possui volume de 648.000 litros, a medida da diagonal dessa caixa deverá ser igual a

• A)18,0m
• B)6√6m
• C)6 √243m
• D)66√243m

O gabarito correto é D). Isso porque, para encontrar a diagonal de um cubo, podemos utilizar a fórmula d = a√3, onde d é a diagonal do cubo e a é a aresta do cubo.

Primeiramente, precisamos encontrar o volume do cubo. Como o volume é de 648.000 litros, podemos converter isso para metros cúbicos, sabendo que 1 litro é igual a 0,001 metros cúbicos. Portanto, o volume em metros cúbicos é:

V = 648.000 x 0,001 = 648 metros cúbicos

O volume de um cubo é encontrado pela fórmula V = a³, onde a é a aresta do cubo. Logo, podemos encontrar a aresta do cubo:

a³ = 648

a = ∛648 = 9 metros

Agora que temos a aresta do cubo, podemos encontrar a diagonal utilizando a fórmula d = a√3:

d = 9√3 = 9√9 x √3 = 27√3 = 66√243 metros

Portanto, a resposta correta é D) 66√243 metros.

Maurílio montou dois poliedros regulares, utilizando folhas de cartolina. Sabe-se que um desses poliedros possui faces pentagonais e o outro faces triangulares. Se a soma de todas as faces desses dois poliedros é igual a 16, pode-se afirmar que a soma de suas arestas é igual a:

• A)42
• B)36
• C)18
• D)24
• E)48

Vamos analisar cada poliedro separadamente. O poliedro com faces pentagonais é um dodecaedro, que tem 12 faces. Já o poliedro com faces triangulares pode ser um tetraedro (4 faces), um octaedro (8 faces) ou um icosaedro (20 faces). No entanto, como a soma das faces é 16, devemos ter um dodecaedro e um tetraedro.

O dodecaedro tem 12 faces e 30 arestas. O tetraedro tem 4 faces e 6 arestas. Portanto, a soma das arestas é 30 + 6 = 36.

Resposta certa: B)36.

Vamos explicar por que as outras opções estão erradas. Se tivéssemos um octaedro em vez de um tetraedro, a soma das arestas seria 30 + 12 = 42, que é a opção A). Se tivéssemos um icosaedro em vez de um dodecaedro, a soma das arestas seria 30 + 30 = 60, que não está entre as opções. A opção C)18 é muito pequena para a soma das arestas de dois poliedros regulares. A opção D)24 é a soma das arestas de dois tetraedros, mas não é a soma das arestas de um dodecaedro e um tetraedro. A opção E)48 é a soma das arestas de dois dodecaedros, mas não é a soma das arestas de um dodecaedro e um tetraedro.

Portanto, a resposta certa é B)36.

Uma caixa tem a forma de um cubo e ocupa um volume de 8.000 cm³. A área de cada lado da caixa, em centímetros quadrados, mede:

• A)400
• B)500
• C)600
• D)800

Vamos calcular a área de cada lado da caixa. Como a caixa tem a forma de um cubo, todos os lados têm o mesmo comprimento. Vamos chamar esse comprimento de "s".

O volume de um cubo é calculado pela fórmula V = s³. Nesse caso, V = 8.000 cm³. Para encontrar o valor de "s", podemos tirar a raiz cúbica de 8.000.

s = ³√8.000 = 20 cm

Agora que sabemos o comprimento de cada lado, podemos calcular a área de cada lado. A área de um quadrado é calculada pela fórmula A = s².

A = 20² = 400 cm²

Portanto, a área de cada lado da caixa é de 400 cm², que é a opção A.

Para que você pratique mais, aqui vai outro exemplo:

Um tanque de combustível tem a forma de um cubo e ocupa um volume de 27.000 litros. Qual é a área de cada lado do tanque?

(Lembre-se de que 1 litro é igual a 1.000 cm³.)

• A)300
• B)400
• C)500
• D)600

Você consegue resolver sozinho?

Boa sorte!

Quatro sólidos geométricos de madeira foram apoiados na superfície de uma mesa. Considere que esses sólidos são, respectivamente, um cilindro, um cubo, um cone e um paralelepípedo. Assinale a alternativa que representa as áreas de contato entre o sólido geométrico e a superfície da mesa na ordem apresentada anteriormente:

• E)

Para resolver essa questão, precisamos analisar cada sólido geométrico separadamente. Começando pelo cilindro, sabemos que ele tem uma base circular e uma superfície lateral curva. Quando o cilindro é apoiado na superfície da mesa, a área de contato é igual à área da base circular do cilindro.

Em seguida, temos o cubo. O cubo tem seis faces quadradas, e quando é apoiado na superfície da mesa, a área de contato é igual à área de uma das faces quadradas do cubo.

Agora, vamos analisar o cone. O cone tem uma base circular e uma superfície lateral curva que se estreita até o vértice do cone. Quando o cone é apoiado na superfície da mesa, a área de contato é igual à área da base circular do cone.

Por fim, temos o paralelepípedo. O paralelepípedo tem seis faces, sendo que a base e o topo são retângulos e as laterais são paralelogramas. Quando o paralelepípedo é apoiado na superfície da mesa, a área de contato é igual à área da base retangular do paralelepípedo.

Portanto, as áreas de contato entre os sólidos geométricos e a superfície da mesa, na ordem apresentada anteriormente, são: círculo (cilindro), quadrado (cubo), círculo (cone) e retângulo (paralelepípedo).

A alternativa que representa essa sequência de áreas de contato é a D) círculo, quadrado, círculo e retângulo.