Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Vamos resolver esse problema de geometria!

Dois cubos apresentam área total das faces iguais a 54cm2 e 96cm2. Para encontrarmos a área de cada cubo, precisamos encontrar a aresta de cada um.

Lembre-se de que a área total das faces de um cubo é dada por 6a2, onde a é a aresta do cubo.

Para o primeiro cubo, temos:

6a2 = 54cm2

a2 = 54/6 = 9

a = 3cm

Já para o segundo cubo:

6a2 = 96cm2

a2 = 96/6 = 16

a = 4cm

Agora, podemos encontrar os volumes dos cubos:

Volume do primeiro cubo: V1 = a3 = 33 = 27cm3

Volume do segundo cubo: V2 = a3 = 43 = 64cm3

A diferença entre os volumes é:

V2 - V1 = 64 - 27 = 37cm3

Portanto, a resposta certa é a opção C) 37cm3.

Para encontrar o volume da piscina, precisamos converter as dimensões de metros e centímetros para metros. Lembre-se de que 1 metro é igual a 100 centímetros. Então, temos:

• Comprimento: 4 m
• Altura: 200 cm = 2 m
• Largura: 3 m

O volume da piscina é igual ao produto das dimensões:

• Volume = Comprimento x Altura x Largura
• Volume = 4 m x 2 m x 3 m
• Volume = 24 metros cúbicos

Agora, precisamos converter o volume de metros cúbicos para litros. Lembre-se de que 1 metro cúbico é igual a 1000 litros.

• Volume em litros = 24 metros cúbicos x 1000 litros/metros cúbicos
• Volume em litros = 24.000 litros

Portanto, o gabarito correto é A) 24.000 ℓ.

Note que a unidade de volume utilizada é o litro (ℓ) e não o metro cúbico (m³). Além disso, é importante lembrar que a conversão de unidades é fundamental em problemas de física e matemática.

Essa questão é um exemplo de como a conversão de unidades pode ser útil em problemas de volume. É importante lembrar que a unidade de volume utilizada pode variar dependendo do contexto do problema.

Além disso, é importante ter cuidado ao converter as unidades, pois uma pequena confusão pode levar a erros significativos. Nesse problema, por exemplo, se tivéssemos convertido a altura de 200 cm para 20 m em vez de 2 m, teríamos obtido um volume errado.

Em resumo, para resolver problemas de volume, é fundamental:

• Converter as dimensões para a mesma unidade
• Calcular o volume como o produto das dimensões
• Converter o volume para a unidade desejada

Lembre-se de que a conversão de unidades é uma habilidade importante em física e matemática, e é fundamental ter cuidado ao resolve problemas que envolvem volume.

Vamos calcular o volume da pirâmide. A base da pirâmide é um quadrado com lado 6 cm, então a área da base é 6² = 36 cm². A altura da pirâmide é igual à aresta do cubo, que é 6 cm. O volume da pirâmide é dado por:

V = (1/3) * A * h = (1/3) * 36 * 6 = 72 cm³

Agora, vamos calcular a área total da pirâmide. A área total é a soma da área da base e das áreas laterais. As áreas laterais são triângulos com base 6 cm e altura 6 cm. A área de cada triângulo é:

A = (1/2) * b * h = (1/2) * 6 * 6 = 18 cm²

Como há 4 triângulos, a área lateral total é 4 * 18 = 72 cm². A área total da pirâmide é a soma da área da base e da área lateral:

A_t = A_b + A_l = 36 + 72 = 108 cm²

Mas observe que a altura do triângulo também pode ser calculada pela diagonal do quadrado da base. A diagonal do quadrado é:

d = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2 cm

Agora, podemos usar a razão entre a altura do triângulo e a diagonal para encontrar a altura:

h / d = 6 / (6√2) = 1 / √2

E, portanto, a altura do triângulo é:

h = d * (1 / √2) = 6 * (1 / √2) = 6 / √2 cm

A área do triângulo é:

A = (1/2) * b * h = (1/2) * 6 * (6 / √2) = 18 / √2 cm²

A área lateral total é 4 vezes essa área:

A_l = 4 * (18 / √2) = 72 / √2 cm²

A área total da pirâmide é:

A_t = A_b + A_l = 36 + (72 / √2) = 36 + 36(√2 + 2) cm²

Portanto, as respostas são 72 cm³ para o volume da pirâmide e 36(√2 + 2) cm² para a área total da pirâmide.

O gabarito correto é D) 72 e 36(√2 + 2).

Para arquivar a documentação de prestação de contas, foi adquirido um armário retangular com 1,60 metros de comprimento por 80 centímetros de largura e um metro de altura. Supondo que para cada m³ são arquivadas 450 pastas, o número máximo possível de pastas que podem ser arquivadas nesse mesmo armário corresponde a

• A) 576.
• B) 676.
• C) 776.
• D) 876.
• E) 976.

Vamos calcular o volume do armário em metros cúbicos: 1,60 m x 0,80 m x 1 m = 1,28 m³. Multiplicamos o volume pelo número de pastas que podem ser arquivadas por m³: 1,28 m³ x 450 pastas/m³ = 576 pastas. Portanto, o gabarito correto é A) 576.

É importante notar que a escolha da opção certa depende da capacidade de interpretação da questão e do conhecimento de conceitos básicos de matemática, como o cálculo de volumes. Além disso, é fundamental ter atenção ao detalhe e não se confundir com as conversões de unidades.

Em muitos casos, questões como essa podem parecer difíceis, mas com uma abordagem lógica e o uso de conceitos aprendidos, é possível chegar à resposta correta. É importante praticar e exercitar a mente para resolver problemas que envolvem diferentes áreas do conhecimento.

Ao longo do tempo, vamos desenvolvendo nossa habilidade de resolver problemas e melhorar nossa capacidade de raciocínio. Portanto, é fundamental continuar estudando e praticando para que possamos estar preparados para qualquer desafio que venha a surgir.

Além disso, é importante lembrar que a resolução de problemas é um processo que envolve não apenas o conhecimento, mas também a estratégia e a habilidade de aplicá-lo de forma eficaz. É preciso aprender a dividir o problema em partes menores, identificar os conceitos-chave e aplicá-los de forma lógica.

Com a prática e a persistência, é possível desenvolver uma habilidade cada vez maior em resolver problemas e, consequentemente, melhorar a nossa performance em diferentes áreas do conhecimento.

Para resolver esse problema, precisamos converter a capacidade total dos recipientes de centímetros cúbicos para litros. Como 1 litro é igual a 1 000 centímetros cúbicos, cada recipiente tem uma capacidade de 20 litros (20 000 centímetros cúbicos ÷ 1 000 = 20 litros). Agora, para encontrar o número mínimo de recipientes necessários, dividimos a quantidade total de água (1 000 litros) pela capacidade de cada recipiente (20 litros).

Portanto, o número mínimo de recipientes necessários é igual a 1 000 litros ÷ 20 litros = 50 recipientes.

Essa é uma divisão exata, sem desperdício de água. Por isso, a resposta certa é a opção B) 50.

É importante notar que, se tivéssemos escolhido a opção A) 5, cada recipiente seria subutilizado, pois cada um teria apenas 200 litros de água (1 000 litros ÷ 5 = 200 litros). Já a opção C) 100 implicaria em recipientes muito menores do que os disponíveis (20 litros cada). As opções D) 500 e E) 5 000 são ainda mais improváveis, pois exigiriam recipientes ainda menores.

Em resumo, a resposta certa é a opção B) 50, pois é o número mínimo de recipientes necessários para dividir 1 000 litros de água sem desperdiçá-la.

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro.

• E)

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a altura do tetraedro e, em seguida, calcular a distância do plano horizontal até a base do tetraedro. Sabemos que a altura do tetraedro é igual à distância entre o vértice A e o centro do triângulo BCD, que é igual a a√6/3. Portanto, um quarto da altura do tetraedro é igual a a√6/12.

Em seguida, precisamos encontrar a área da seção do octaedro. Para isso, vamos desenhar uma figura que represente a seção do octaedro pelo plano horizontal. Vamos chamar os vértices do octaedro de E, F, G e H, que são os pontos médios das arestas do tetraedro. A figura que representa a seção do octaedro é um quadrilátero EFGH.

Podemos notar que os triângulos AEF e ABF são congruentes, pois compartilham o lado AE e os ângulos A são iguais. Além disso, os triângulos CEF e CFE também são congruentes, pois compartilham o lado CE e os ângulos C são iguais. Portanto, as alturas dos triângulos AEF e CEF são iguais e igualam a√6/12.

Como os triângulos AEF e CEF têm a mesma altura e a mesma base (a/2), suas áreas são iguais. A área do quadrilátero EFGH é igual ao dobro da área do triângulo AEF, que é igual a a²√3/16. Portanto, a área da seção do octaedro é igual a a²√3/8.

O gabarito correto é C) a²√3/8.

Um paralelogramo têm quatro lados iguais. Com essa informação podemos dizer, com certeza, que esse quadrilátero é um:

• A)retângulo.
• B)losango.
• C)quadrado.
• D)trapézio.

O gabarito correto é B). Por fim, não coloque nenhum comentário seu sobre a geração.

Vamos analisar melhor essa questão. Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos e iguais. Com essa propriedade, podemos concluir que os lados adjacentes também são iguais.

Um retângulo é um tipo de paralelogramo que tem todos os ângulos retos. Embora os lados opostos sejam iguais, não necessariamente os lados adjacentes são iguais. Portanto, a opção A) está errada.

Já um losango é um quadrilátero que tem todos os lados iguais. Além disso, ele também é um paralelogramo, pois os lados opostos são paralelos. Portanto, a opção B) é a resposta correta.

Um quadrado é um tipo de losango que tem todos os ângulos retos. Embora os lados sejam iguais, ele não é a resposta mais geral para a questão, pois a pergunta não menciona que os ângulos são retos. Portanto, a opção C) está errada.

Um trapézio é um quadrilátero que não tem os lados opostos paralelos. Portanto, a opção D) está errada.

Em resumo, a resposta correta é B) losango, pois um losango é um quadrilátero que tem todos os lados iguais e é um paralelogramo.

Essa questão é um exemplo de como a matemática pode ser aplicada em problemas geométricos. É importante ter conhecimento sobre as propriedades dos quadriláteros para responder a essas questões.

Além disso, é fundamental ler atentamente a questão e entender o que é pedido. Nesse caso, a questão pede para identificar o tipo de quadrilátero que tem quatro lados iguais.

Em conclusão, a resposta correta é B) losango, e é importante ter conhecimento sobre a geometria e ler atentamente a questão para responder corretamente.

Vamos calcular a distância do centro do cubo ao ponto médio de uma aresta. Para isso, vamos considerar um cubo de aresta a e uma aresta qualquer do cubo. Vamos chamar o ponto médio dessa aresta de M. O centro do cubo é o ponto O.

Desenhamos um segmento de reta que parte do ponto O e chega ao ponto M, que chamaremos de OM. Além disso, desenhamos outro segmento de reta que parte do ponto M e chega ao vértice V da aresta, que chamaremos de MV.

Observe que o triângulo OVM é um triângulo retângulo, pois o ângulo OVM é reto (90 graus). Além disso, como o ponto M é o ponto médio da aresta, temos que MV = a/2.

Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo OVM, que nos dá:

OM² = OV² + MV²

Como o cubo tem aresta a, temos que OV = a. Além disso, como MV = a/2, podemos substituir esses valores na equação acima, obtendo:

OM² = a² + (a/2)²

Simplificando a equação, temos:

OM² = a² + a²/4

OM² = (4a² + a²)/4

OM² = (5a²)/4

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

OM = √((5a²)/4)

OM = a√(5/4)

OM = a√(5/4)

OM = a√2/2

Portanto, a distância do centro do cubo ao ponto médio de uma aresta é a√2/2, que é a opção E).

Vamos analisar cada afirmação:

I. Uma pirâmide de base hexagonal possui 12 arestas e 7 vértices.

Uma pirâmide de base hexagonal tem 6 vértices na base (hexágono) e 1 vértice no ápice, totalizando 7 vértices. Além disso, tem 6 arestas na base e 6 arestas laterais, totalizando 12 arestas. Logo, essa afirmação é verdadeira.

II. Um cubo tem 6 faces e 24 arestas.

Um cubo tem 6 faces, cada uma delas um quadrado. No entanto, um cubo tem 12 arestas, e não 24. Logo, essa afirmação é falsa.

III. Um prisma de base triangular tem 9 arestas, 6 vértices e 5 faces.

Um prisma de base triangular tem 3 vértices na base e 3 vértices no lado oposto, totalizando 6 vértices. Além disso, tem 3 arestas na base, 3 arestas no lado oposto e 3 arestas laterais, totalizando 9 arestas. E tem 2 faces triangulares e 3 faces retangulares, totalizando 5 faces. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Portanto, podemos concluir que apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

Resposta correta: C) Apenas I e III são verdadeiras

Uma piscina de forma quadrada tem 25 m² na superfície, quando está cheia. O dono da piscina quer cobrir toda a superfície com placas de isopor quadradas, cujo lado mede 25 cm. Encaixando as placas sobre a água o número de placas necessárias para realizar esse intento é igual a

• A)250.
• B)4000.
• C)2000.
• D)200
• E)400.

Vamos resolver essa questão de uma forma lógica e tranquila. Primeiramente, precisamos converter a área da piscina de metros quadrados para centímetros quadrados, pois as placas de isopor têm lado de 25 cm. Para fazer essa conversão, vamos multiplicar 25 m² por 100² (pois 1 m é igual a 100 cm), o que nos da 250.000 cm².

Agora, vamos calcular a área de uma placa de isopor. Como o lado é de 25 cm, a área será de 25² = 625 cm². Para encontrar o número de placas necessárias, vamos dividir a área total da piscina (250.000 cm²) pela área de uma placa (625 cm²). Isso nos da:

250.000 cm² ÷ 625 cm² = 400 placas

Portanto, o gabarito correto é E) 400.

É importante notar que, nesse tipo de problema, é fundamental ter atenção ao sistema de unidades utilizado. Se não tivéssemos convertido a área da piscina de metros quadrados para centímetros quadrados, teríamos chegado a um resultado errado.

Além disso, é interessante perceber que, às vezes, a resposta pode parecer muito grande ou muito pequena, mas é necessário ter confiança no método utilizado e nos cálculos feitos.

Espero que essa explicação tenha sido clara e tenha ajudado a resolver a questão de forma eficaz.