Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Uma caixa d’água de formato cúbico, cuja aresta mede 2 metros, estava completamente cheia. Para esvaziá-la, abriu-se uma torneira cuja vazão, constante, é de 8 litros a cada 30 segundos. Se a torneira foi aberta às 8h 30min, então essa caixa d’água estará totalmente vazia às

• A)18 h 15 min.
• B)18 h 10 min.
• C)17 h 50 min.
• D)17 h 30 min.
• E)16 h 50 min.

Vamos calcular o volume da caixa d'água. Como é um cubo, o volume é igual à aresta elevada ao cubo. Portanto, o volume da caixa d'água é de 2³ = 8 metros cúbicos. Convertendo isso para litros, temos 8.000 litros.

Agora, precisamos calcular a vazão da torneira em litros por minuto. Como a vazão é de 8 litros a cada 30 segundos, em 1 minuto a torneira esvazia 8 x 2 = 16 litros.

Para calcular o tempo necessário para esvaziar a caixa d'água, dividimos o volume da caixa (8.000 litros) pela vazão da torneira (16 litros por minuto). O resultado é de 500 minutos.

Convertendo o tempo em horas e minutos, temos 500 minutos / 60 = 8 horas e 20 minutos. Como a torneira foi aberta às 8h 30min, a caixa d'água estará vazia às 8h 30min + 8h 20min = 16h 50min.

Portanto, a resposta correta é a letra E) 16 h 50 min.

Para calcular a área do papel, precisamos calcular primeiro a superfície total do sabonete. Como o sabonete é um paralelepípedo retângulo, sua superfície total é dada pela soma das áreas de suas faces. As áreas das faces do paralelepípedo são:

• Face frontal: 6 cm x 4,5 cm = 27 cm²
• Face traseira: 6 cm x 4,5 cm = 27 cm²
• Face lateral esquerda: 6 cm x 2 cm = 12 cm²
• Face lateral direita: 6 cm x 2 cm = 12 cm²
• Face superior: 4,5 cm x 2 cm = 9 cm²
• Face inferior: 4,5 cm x 2 cm = 9 cm²

A superfície total do sabonete é a soma dessas áreas:

Superfície total = 27 + 27 + 12 + 12 + 9 + 9 = 96 cm²

Agora, como a área do papel é 4/3 da superfície total do sabonete, podemos calcular:

Área do papel = (4/3) x 96 cm² = 128 cm²

Portanto, a resposta correta é E) 128.

Com o volume de água contido em uma piscina olímpica, que tem a forma de um bloco retangular com 50 m de comprimento, 25 m de largura e 2,4 m de profundidade, seria possível abastecer uma residência com 200 litros de água todos os dias do ano, por um tempo, em anos, de, aproximadamente,

Primeiramente, vamos calcular o volume da piscina olímpica em litros. Para isso, precisamos converter as medidas de metros para litros. Um metro cúbico é igual a 1.000 litros, então:

V = 50 m x 25 m x 2,4 m = 3.000 metros cúbicos

V = 3.000 m³ x 1.000 l/m³ = 3.000.000 litros

Agora, vamos calcular quantos dias uma residência pode ser abastecida com 200 litros de água por dia:

3.000.000 litros / 200 litros/dia = 15.000 dias

Como um ano tem 365 dias, podemos calcular o número de anos que uma residência pode ser abastecida:

15.000 dias / 365 dias/ano = 41 anos

• A)51.
• B)48.
• C)46.
• D)43.
• E)41.

Portanto, a resposta certa é E) 41 anos.

Vamos calcular a quantidade de banhos necessários para reduzir o sabonete à metade do seu volume inicial.

Primeiramente, precisamos calcular o volume inicial do sabonete. Como ele tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo com dimensões 10 cm x 5 cm x 4 cm, podemos calcular o volume inicial como:

V_i = 10 cm x 5 cm x 4 cm = 200 cm³

Agora, vamos calcular a quantidade de volume que o sabonete perde em cada banho. since ele perde 2% do seu volume cada vez que é usado, podemos calcular a quantidade de volume perdido em cada banho como:

V_perdido = 2% x V_i = 0,02 x 200 cm³ = 4 cm³

Para reduzir o sabonete à metade do seu volume inicial, precisamos que o volume perdido seja igual à metade do volume inicial:

V_perdido = V_i/2 = 200 cm³/2 = 100 cm³

Como o sabonete perde 4 cm³ de volume em cada banho, podemos calcular a quantidade de banhos necessários para reduzir o sabonete à metade do seu volume inicial como:

Número de banhos = V_perdido/V_i = 100 cm³/4 cm³ = 25 banhos

Portanto, a resposta certa é B) 25 banhos.

Vamos calcular o número de poliedros distintos que se pode obter ao fazer os cortes citados. Primeiramente, devemos notar que, como há 8 vértices no cubo, há 8 possibilidades de escolher os três vértices que serão truncados. Porém, como a ordem dos vértices escolhidos não interfere no resultado, devemos considerar que essas 8 possibilidades são equivalentes. Portanto, há apenas 1 possibilidade de escolher os vértices que serão truncados.

Em seguida, devemos considerar as cores dos vértices. Como cada vértice é pintado com uma cor única, há 8 possibilidades de cores para o primeiro vértice, 7 para o segundo e 6 para o terceiro. No entanto, como a ordem das cores não interfere no resultado, devemos considerar que essas 8 × 7 × 6 = 336 possibilidades são equivalentes. Portanto, há apenas 1 possibilidade de escolher as cores dos vértices.

Assim, há apenas 1 possibilidade de escolher os vértices e as cores dos vértices. Portanto, há apenas 1 poliedro distinto que se pode obter ao fazer os cortes citados. Como o resultado é um número inteiro, não há parte decimal a ser desprezada. A resposta certa é, portanto, 1.

Resposta: C) CERTO

Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma face com 16 cm² de área, AE e BH são arestas e AG é uma diagonal do cubo.

No cubo citado, toma-se um plano secante cujas interseções com as arestas AB, BC, CG, FG, EF e AE se dão exatamente nos pontos médios dessas arestas. Considere √3 = 1,7 e calcule, em centímetros quadrados, a área da região de interseção entre o plano e o cubo. Marque na folha de respostas, desprezando, se houver, a parte decimal do resultado final.

Gabarito Tipo B

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos calcular a área da região de interseção entre o plano e o cubo. Para isso, precisamos encontrar a área do losango formado pela interseção do plano com as faces do cubo.

Como as interseções com as arestas AB, BC, CG, FG, EF e AE se dão exatamente nos pontos médios dessas arestas, sabemos que o losango tem lados de 8 cm.

A área do losango pode ser calculada pela fórmula:

A = (diagonal1 * diagonal2) / 2

onde diagonal1 e diagonal2 são as diagonais do losango.

Como o losango tem lados de 8 cm, suas diagonais podem ser calculadas pela fórmula:

diagonal = √(lado² + lado²)

Substituindo os valores, obtemos:

diagonal = √(8² + 8²)

diagonal = √(64 + 64)

diagonal = √128

diagonal ≈ 11,31 cm

Como o losango tem duas diagonais iguais, podemos calcular a área do losango:

A = (diagonal²) / 2

A = (11,31²) / 2

A ≈ 64 cm²

Portanto, a área da região de interseção entre o plano e o cubo é de 64 cm².

Desprezando a parte decimal do resultado final, obtemos:

A = 64 cm²

Logo, o gabarito correto é E) ERRADO.

Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma face com 16 cm² de área, AE e BH são arestas e AG é uma diagonal do cubo.

Em relação a essa figura, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

O triângulo AEG é retângulo e isósceles.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é E).

A explicação para isso é que o triângulo AEG não é isósceles. Embora AE seja uma aresta do cubo, e EG seja uma aresta também, elas não têm o mesmo comprimento. Além disso, não há razão para que o triângulo AEG seja retângulo.

Para entender melhor, podemos analisar as propriedades do cubo. Sabemos que cada aresta do cubo tem o mesmo comprimento, que é a raiz cúbica da área da face. Dessa forma, o comprimento de AE é igual a 4 cm, pois a área da face ABCD é 16 cm².

Já a diagonal do cubo, que é representada por AG, tem um comprimento maior que o comprimento da aresta. Isso porque a diagonal do cubo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as arestas do cubo. Portanto, o comprimento de AG é maior que 4 cm.

Logo, não há razão para que o triângulo AEG seja isósceles, pois seus lados têm comprimentos diferentes. Além disso, não há razão para que ele seja retângulo, pois não há ângulos retos no triângulo AEG.

Outro item que pode ser analisado é o triângulo ABH. Podemos perguntar se ele é isósceles ou retângulo.

O triângulo ABH é isósceles porque os lados AB e BH têm o mesmo comprimento, que é o comprimento da aresta do cubo, que é 4 cm.

Já em relação a ser retângulo, podemos novamente analisar as propriedades do cubo. Sabemos que a diagonal do cubo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as arestas do cubo. Nesse caso, o triângulo ABH é retângulo, pois o ângulo B é reto.

Portanto, podemos concluir que o triângulo ABH é isósceles e retângulo, diferentemente do triângulo AEG.

Essa análise pode ser útil para resolver problemas que envolvam figuras geométricas, como cubos e triângulos. É importante entender as propriedades dessas figuras para poder responder às perguntas corretamente.

Você sabia que a esfera inscrita no cubo é uma esfera que toca todas as faces do cubo e está completamente contida nele? É isso que vamos explorar em relação à afirmação sobre o raio da esfera inscrita no cubo.

Para responder a essa pergunta, vamos começar analisando as informações fornecidas. Sabemos que a face ABCD do cubo tem área de 16 cm². Como a face é um quadrado, podemos calcular o lado do quadrado, que é a raiz quadrada da área:

lado = √16 cm² = 4 cm

Como o cubo é formado por seis faces quadradas idênticas, cada aresta do cubo tem comprimento de 4 cm. Agora, vamos calcular a diagonal do cubo, que é a distância entre dois vértices opostos do cubo. Podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a diagonal:

diagonal = √(4 cm)² + (4 cm)² + (4 cm)² = √(3 × 4² cm²) = 4√3 cm

Agora, vamos analisar a esfera inscrita no cubo. Sabemos que a esfera toca todas as faces do cubo e está completamente contida nele. Isso significa que o raio da esfera é igual à metade da aresta do cubo, pois a esfera toca o meio de cada aresta:

raio = 4 cm / 2 = 2 cm

Portanto, o raio da esfera inscrita no cubo é igual a 2 cm, que é menor que 3 cm. Isso significa que a afirmação está ERRADA.

• C) ERRADO
• E) CERTO

Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma face com 16 cm² de área, AE e BH são arestas e AG é uma diagonal do cubo.

Em relação a essa figura, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

EC = HD.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar a figura do cubo ABCDEFGH. Sabemos que ABCD é uma face do cubo com 16 cm² de área. Isso significa que as arestas do cubo têm 4 cm de comprimento, pois o lado de um quadrado é igual à raiz quadrada da área.

Como EC e HD são arestas do cubo, elas têm o mesmo comprimento, que é 4 cm. Portanto, EC é igual a HD.

Agora, vamos julgar os próximos itens:

D) A diagonal AG do cubo é igual à soma das arestas AE e EG.

• A) CERTO
• B) ERRADO

Para julgar essa afirmação, precisamos analisar as propriedades das diagonais de um cubo. Sabemos que a diagonal AG do cubo é igual à raiz quadrada de 3 vezes o comprimento de uma aresta.

Como o comprimento de uma aresta é 4 cm, a diagonal AG tem comprimento igual a √(3 × 16) = √48.

A soma das arestas AE e EG também é igual ao comprimento da diagonal AG, pois AE é igual a EG (elas são arestas do mesmo cubo) e AE + EG = AG.

Portanto, a diagonal AG é igual à soma das arestas AE e EG.

O próximo item é:

E) A área da face ABCD é igual à área da face EFGH.

• C) CERTO
• D) ERRADO

Essa afirmação é verdadeira, pois as faces ABCD e EFGH são faces opostas do cubo e têm a mesma área, que é 16 cm².

O próximo item é:

F) A aresta AE é perpendicular à aresta BH.

• A) CERTO
• B) ERRADO

Essa afirmação é verdadeira, pois as arestas AE e BH são arestas de faces adjacentes do cubo e são perpendiculares entre si.

Os próximos itens são:

G) A diagonal AG do cubo é igual à diagonal CH do cubo.

• A) CERTO
• B) ERRADO

H) A área da face ABCD é igual à área da face ABFE.

• C) CERTO
• D) ERRADO

I) A aresta AE é igual à aresta DG.

• A) CERTO
• B) ERRADO

J) A diagonal AG do cubo é igual à diagonal BF do cubo.

• A) CERTO
• B) ERRADO

Vamos julgar cada item com base nas propriedades do cubo.

Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma face com 16 cm² de área, AE e BH são arestas e AG é uma diagonal do cubo.

Em relação a essa figura, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

DF é uma das arestas do cubo.

• C) CERTO
• E) ERRADO

AB é uma aresta do cubo.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O volume do cubo é de 64 cm³.

• C) CERTO
• E) ERRADO

A diagonal do cubo mede 8 cm.

• C) CERTO
• E) ERRADO

A área da face ABCD é igual à área da face EFGH.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O comprimento da aresta AE é igual ao comprimento da aresta BH.

• C) CERTO
• E) ERRADO

A diagonal AG é igual à diagonal CF.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O cubo tem 12 arestas.

• C) CERTO
• E) ERRADO

A face ABCD é um quadrado.

• C) CERTO
• E) ERRADO