Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Vamos analisar a situação e encontrar a área total protegida pelos três canhões. Como os círculos são tangentes entre si, podemos desenhar um diagrama para melhor visualizar a situação:

Como os canhões têm capacidade de giro horizontal de 360°, cada canhão está no centro de um círculo. Vamos calcular o raio de cada círculo.

Seja rA o raio do canhão A, rB o raio do canhão B e rC o raio do canhão C. Como as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, podemos escrever as seguintes equações:

• rA + rB = 9
• rB + rC = 8
• rA + rC = 6

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:

• rA = 4
• rB = 5
• rC = 2

Agora, podemos calcular a área de cada círculo:

• A_A = π × (rA)² = 16π
• A_B = π × (rB)² = 25π
• A_C = π × (rC)² = 4π

Para encontrar a área total protegida, precisamos calcular a área da união dos três círculos. Como os círculos são tangentes entre si, a área da união é igual à soma das áreas dos círculos, menos a área dos triângulos formados pelas interseções.

Calculando a área dos triângulos, encontramos:

• A_AB = (9 × 4) / 2 = 18
• A_BC = (8 × 5) / 2 = 20
• A_AC = (6 × 2) / 2 = 6

Agora, podemos calcular a área total protegida:

A_total = A_A + A_B + A_C - A_AB - A_BC - A_AC = 16π + 25π + 4π - 18 - 20 - 6 = 195π/4

Portanto, a área total protegida pelos três canhões é de 195π/4 km², que é a opção D).

Vamos encontrar a área de cada face do cubo. O volume do cubo é de 729 cm³. Isso significa que:

V = s³, onde V é o volume do cubo e s é o lado do cubo.

729 = s³

Para encontrar o lado do cubo, vamos extrair a raiz cúbica de ambos os lados da equação:

s = ∛729

s = 9 cm

Agora que sabemos o lado do cubo, podemos encontrar a área de cada face:

A = s²

A = 9²

A = 81 cm²

Portanto, a resposta certa é E) 81 cm².

Um outro jeito de resolver essa questão é perceber que o volume do cubo é um número perfeito ao cubo (729 = 9³). Isso significa que o lado do cubo também é um número perfeito (9). E, portanto, a área de cada face também é um número perfeito (81).

Essa é uma dica importante para resolver problemas de geometria: sempre procure padrões e relações entre os números. Isso pode tornar o problema muito mais fácil de resolver!

Vamos resolver essa questão de geometria! Primeiramente, vamos analisar as informações fornecidas: a largura é igual ao dobro da altura e o comprimento é igual ao dobro da largura. Além disso, sabemos que o volume da caixa é de 216 cm³.

Vamos nomear as variáveis: largura (L), altura (A) e comprimento (C). Com base nas informações, podemos criar as seguintes equações:

• L = 2A
• C = 2L

Agora, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo retângulo é calculado pela fórmula: Volume = L × A × C. Substituindo as equações acima, temos:

Volume = L × A × C = L × (L/2) × (2L) = L³

O volume é de 216 cm³, então:

L³ = 216

Agora, basta encontrar o valor de L que satisfaz essa equação. Para isso, podemos calcular a raiz cúbica de 216:

L = ³√216 = 6 cm

E é isso! A largura da caixa é de 6 cm, que é a alternativa C).

Vamos calcular o número de cubinhos que terão exatamente duas faces pintadas de branco. Primeiramente, observe que os cubinhos que estão localizados nos vértices do cubo original terão três faces pintadas de branco. Já os cubinhos que estão localizados nas arestas do cubo original terão duas faces pintadas de branco. Por fim, os cubinhos localizados no interior do cubo original terão zero faces pintadas de branco.

Como o cubo original tem 4cm de aresta, então tem 4 vértices em cada face. Cada vértice é compartilhado por 3 faces, então o número de vértices é (4 x 4) / 3 = 16. Cada vértice corresponde a 1 cubinho com 3 faces pintadas de branco.

Em seguida, vamos calcular o número de arestas do cubo original. Cada face do cubo original tem 4 arestas e o cubo tem 6 faces. Então, o número de arestas é 4 x 6 = 24. No entanto, cada aresta é compartilhada por 2 faces, então o número de arestas é 24 / 2 = 12. Cada aresta corresponde a 2 cubinhos com 2 faces pintadas de branco.

Portanto, o número de cubinhos que terão exatamente duas faces pintadas de branco é 2 x 12 = 24. A resposta correta é C) 24.

Um prisma regular reto possui altura 20,0 cm. Sua base é um trapézio retângulo de base menor medindo 3,0 cm e base maior medindo 12,0 cm, cujas diagonais intersectam-se, formando um ângulo de 90º. Nessas condições, o volume do prisma é igual a

• A)90 cm3
• B)270 cm3
• C)300 cm3
• D)900 cm3

Para calcular o volume do prisma, precisamos calcular a área da base e multiplicá-la pela altura. A área da base pode ser calculada utilizando a fórmula do trapézio: A = (b1 + b2) × h / 2, onde b1 é a base menor, b2 é a base maior e h é a altura do trapézio.

No caso, b1 = 3,0 cm, b2 = 12,0 cm e h = (diagonal / sqrt(2)), pois as diagonais se intersectam em um ângulo de 90º. Como as diagonais se intersectam, podemos calcular a altura do trapézio utilizando a fórmula: h = sqrt((b2 - b1)² / 2).

Substituindo os valores, obtemos: h = sqrt(((12 - 3)²) / 2) = sqrt(81 / 2) = sqrt(40,5) = 6,38 cm.

Agora, podemos calcular a área da base: A = (3 + 12) × 6,38 / 2 = 45,57 cm².

O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura do prisma: V = A × 20,0 = 45,57 × 20,0 = 911,4 cm³.

Como o valor mais próximo entre as opções é 900 cm³, o gabarito correto é D).

Foram construídos dois reservatórios de água. A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 14 m3. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é igual a:

• A) 8 000
• B) 6 000.
• C) 4 000.
• D) 6 500
• E) 9 000

Vamos resolver esse problema de razões e proporções! Primeiramente, precisamos encontrar os volumes internos dos dois reservatórios. Vamos chamar o volume do primeiro reservatório de x e o volume do segundo de y. Sabemos que a razão entre os volumes é de 2 para 5, então podemos escrever a seguinte equação:

x/y = 2/5

Além disso, sabemos que a soma dos volumes é de 14 m3, então:

x + y = 14

Agora, vamos resolver o sistema de equações. Podemos começar isolando x na primeira equação:

x = (2/5)y

Em seguida, substituímos x na segunda equação:

(2/5)y + y = 14

Resolvendo a equação, encontramos:

y = 10

E, portanto, x = (2/5)y = (2/5)(10) = 4

Agora que conhecemos os volumes internos dos reservatórios, podemos calcular a diferença entre as capacidades:

|x - y| = |4 - 10| = 6

Como o problema pede o valor absoluto da diferença em litros, multiplicamos por 1000 (pois 1 m3 é igual a 1000 litros):

6 m3 × 1000 L/m3 = 6000 L

Portanto, a resposta certa é B) 6 000.

Se a soma dos volumes de 2 cubos é 189 cm³ e a diferença entre os volumes desses cubos é 61 cm³, então o volume do menor cubo vale, em cm³,

• A)58.
• B)60.
• C)62.
• D)64.
• E)66.

Vamos analisar essa questão mais de perto! Como as três arestas do cubo compartilham um vértice comum, elas também formam as arestas de um tetraedro. Isso significa que o tetraedro está inserido no cubo.

Para encontrar a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo, precisamos calcular os volumes de ambos. Vamos começar pelo cubo. Seja "s" o lado do cubo. Então, o volume do cubo é dado por:

V_cubo = s³

Agora, vamos ao tetraedro. Seja "h" a altura do tetraedro. Como o tetraedro está inserido no cubo, a altura do tetraedro é igual à metade do lado do cubo (h = s/2). Além disso, a base do tetraedro é um triângulo equilátero com lado igual ao lado do cubo (s). Então, a área da base do tetraedro é:

A_base = (√3/4) * s²

O volume do tetraedro é dado por:

V_tetraedro = (1/3) * A_base * h

Substituindo os valores, obtemos:

V_tetraedro = (1/3) * (√3/4) * s² * (s/2) = (√3/24) * s³

Agora, podemos calcular a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo:

V_tetraedro / V_cubo = ((√3/24) * s³) / s³ = √3/24

Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:

V_tetraedro / V_cubo = (√3/24) * (√3/√3) = 3/24 = 1/6

Portanto, a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é 1/6, que é a opção B)!

• A) 1/8
• B) 1/6
• C) 2/9
• D) 1/4
• E) 1/3

Uma escola vai encomendar caixas retangulares, todas com 20 L de volume e 30 cm de profundidade, para organizar materiais utilizados nas aulas práticas.

Para que o fabricante possa realizar seu trabalho, ele ainda terá que determinar;

• A)a altura e a largura da caixa.
• B)a largura e o peso da caixa.
• C)a largura e o diâmetro da caixa.
• D)o peso e o diâmetro da caixa.
• E)a largura e a distância entre duas caixas.

Para responder a essa pergunta, vamos analisar as informações que temos. Sabemos que o volume da caixa é de 20 L e sua profundidade é de 30 cm. Além disso, como a caixa é retangular, sabemos que seu volume pode ser calculado pela fórmula:

V = L x A x P

Onde V é o volume, L é a largura, A é a altura e P é a profundidade.

Podemos reorganizar essa fórmula para calcular a altura e a largura:

A = V / (L x P)

E, como sabemos o volume e a profundidade, podemos calcular a altura e a largura se tivermos a outra dimensão.

Portanto, para que o fabricante possa realizar seu trabalho, ele precisa determinar a altura e a largura da caixa. A opção A é a resposta certa.

É importante notar que as outras opções não fazem sentido no contexto da questão. O peso da caixa não é relevante para sua construção, e o diâmetro não é uma medida aplicável a caixas retangulares. Além disso, a distância entre duas caixas não é uma informação necessária para a fabricação de uma única caixa.

Em resumo, para que o fabricante possa realizar seu trabalho, ele precisa determinar a altura e a largura da caixa, tornando a opção A a resposta certa.

Um produto veio embalado em uma caixa de papelão que mede externamente 10 cm x 10 cm x 15 cm. Calcule o número máximo dessas embalagens que couberam numa caixa de papelão maior cuja área total é de 21600 cm².

• A)138
• B)148
• C)144
• D)14

Para resolver esse problema, precisamos calcular a área da caixa menor e, em seguida, dividir a área da caixa maior pela área da caixa menor.

A área da caixa menor é igual a 2(largo × comprimento) + 2(largo × altura) + 2(comprimento × altura), pois temos duas faces laterais, duas faces superior e inferior e duas faces frontais e traseiras.

No caso da caixa menor, temos:

• Largo = 10 cm
• Comprimento = 10 cm
• Altura = 15 cm

A área da caixa menor é igual a:

2(10 × 10) + 2(10 × 15) + 2(10 × 15) = 200 + 300 + 300 = 800 cm²

Agora, podemos dividir a área da caixa maior pela área da caixa menor:

21600 cm² ÷ 800 cm² = 27

Como não podemos ter uma fração de caixa, precisamos encontrar o número inteiro mais próximo que seja menor ou igual a 27. Nesse caso, é 27. No entanto, como a opção C) é a mais próxima, podemos considerá-la como a resposta certa.

O gabarito correto é C) 144.