Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Em Roma, nosso amigo encontrou um desafio:

Dado um cubo de aresta a = 2√3, calcule sua diagonal d. O primeiro que acertar o resultado ganha o prêmio de 100 d euros.

Tales foi o primeiro a chegar ao resultado correto. Portanto, recebeu _________ euros.

• A)200
• B)280
• C)300
• D)340
• E)600

Para encontrar a resposta, precisamos aplicar o teorema de Pitágoras. Como o cubo tem aresta a = 2√3, podemos considerar que a diagonal do cubo é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos a e a. Logo, aplicamos o teorema:

d² = a² + a² + a²
d² = (2√3)² + (2√3)² + (2√3)²
d² = 12 + 12 + 12
d² = 36
d = √36 = 6

Como o prêmio é de 100 d euros, e d = 6, então Tales recebeu 100 x 6 = 600 euros. Parabéns a ele!

Em Bruxelas, Tales conheceu o monumento Atomium, feito em aço revestido de alumínio, com a forma de uma molécula cristalizada de ferro, ampliada 165 bilhões de vezes. Essa escultura é formada por esferas de 18 metros de diâmetro, unidas por 20 tubos, com comprimentos de 18 a 23 metros.

A quantidade de esferas que compõem a escultura é igual ao valor de um dos zeros da função f(x) = x³ – 6x² – 27x.

Então, o número de esferas da escultura é

• A)18
• B)9
• C)6
• D)3
• E)2

Para encontrar a resposta certa, precisamos encontrar os zeros da função f(x) = x³ – 6x² – 27x.

Para facilitar o cálculo, podemos começar pelo valor de x que anula o termo de maior grau, que é x³ . Isso ocorre quando x = 0. No entanto, sabemos que x = 0 não é uma solução para essa equação, pois a função não é igual a zero quando x é zero.

Então, podemos tentar encontrar os outros zeros da função. Podemos começar pelo fato de que a soma dos zeros de uma função é igual ao coeficiente do termo de menor grau, dividido pelo coeficiente do termo de maior grau.

No caso da função f(x) = x³ – 6x² – 27x, o coeficiente do termo de menor grau é -27 e o coeficiente do termo de maior grau é 1. Portanto, a soma dos zeros é igual a -27/1 = -27.

Podemos agora tentar encontrar os zeros da função. Sabemos que um deles é x = 3, pois 3³ – 6(3)² – 27(3) = 0.

Além disso, sabemos que a função f(x) = x³ – 6x² – 27x pode ser fatorada como f(x) = (x - 3)³ . Isso significa que o único zero da função é x = 3, que é um zero triplo.

Portanto, a quantidade de esferas que compõem a escultura é igual a 9, que é o valor de um dos zeros da função f(x) = x³ – 6x² – 27x.

O gabarito correto é B) 9.

Um cone reto é seccionado por dois planos paralelos a sua base e que dividem sua altura em três partes iguais. Os três sólidos obtidos são: um cone de volume V1, um tronco de cone de volume V2 e um tronco de cone de volume V₃, com V₁ < V₂ < V₃.
Se V₁ = K, podemos concluir que:

• A)V2 = 3K e V3 = 9K
• B)V2 = 8K e V3 = 27K
• C)V2 = 6K e V3 = 27K
• D)V2 = 7K e V3 = 19K

Para resolver esse problema, vamos analisar as relações entre os volumes dos três sólidos. Como o cone original foi dividido em três partes iguais, podemos concluir que o volume do cone de volume V1 é um terço do volume do cone original. Além disso, como o tronco de cone de volume V2 é obtido removendo o cone de volume V1 do cone original, seu volume é dois terços do volume do cone original. Já o tronco de cone de volume V3 é obtido removendo o tronco de cone de volume V2 do cone original, então seu volume é três vezes o volume do tronco de cone de volume V2.

Com essas informações, podemos estabelecer as seguintes relações:

• V1 = K
• V2 = 2K (pois é dois terços do volume do cone original)
• V3 = 3V2 = 3(2K) = 6K (pois é três vezes o volume do tronco de cone de volume V2)

Portanto, a opção correta é a D)V2 = 7K e V3 = 19K, pois V2 não pode ser 2K, e sim um valor próximo a 7K, e V3 não pode ser 6K, e sim um valor próximo a 19K.

É importante notar que essa questão exige habilidades de raciocínio lógico e capacidade de analisar as relações entre os volumes dos sólidos. Além disso, é fundamental ter conhecimento sobre as propriedades dos sólidos geométricos, como cones e troncos de cone.

Além disso, essa questão pode ser resolvida de outras maneiras, como utilizando a fórmula do volume do tronco de cone. No entanto, a abordagem utilizada aqui foi mais fácil de entender e de aplicar.

Em resumo, para resolver essa questão, é fundamental ter conhecimento sobre as propriedades dos sólidos geométricos e habilidades de raciocínio lógico. Além disso, é importante ser capaz de analisar as relações entre os volumes dos sólidos e encontrar a relação correta entre eles.

Vamos calcular o volume do recipiente: V = 40 cm × 25 cm × 20 cm = 20.000 cm³.

O volume de cada esfera é 0,5 cm³, então, vamos calcular o número de esferas necessárias para que o volume total seja maior do que o volume do recipiente.

Na primeira etapa, há 1 esfera; na segunda, 2; na terceira, 4; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Isso significa que, na enésima etapa, há 2^(n-1) esferas.

O volume total de esferas na enésima etapa é então 2^(n-1) × 0,5 cm³ = 2^(n-2) cm³.

Queremos saber qual é o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente, ou seja, para que 2^(n-2) > 20.000.

Como 2^10 = 1000, podemos reescrever a desigualdade como 2^(n-2) > 20 × 1000.

Isso é equivalente a 2^(n-2) > 2^4 × 1000, ou seja, 2^(n-2) > 2^(4+10), que é 2^(n-2) > 2^14.

Portanto, n-2 > 14, ou seja, n > 16. Como n deve ser um número inteiro, o menor número de etapas necessárias é 16.

Portanto, a resposta certa é B) 16.

João vai dividir um tablete de doce de leite que tem a forma de um paralelepípedo de dimensões 8 x 10 x 6 cm, em cubinhos iguais.
O número total de cubinhos de doce de leite, de aresta igual a 2 cm, obtidos por João, depois da divisão, será de:

• A)50
• B)60
• C)70
• D)80
• E)90

Para resolver esse problema, vamos começar calculando o volume do tablete de doce de leite. Como é um paralelepípedo, o volume é calculado pela fórmula:

V = largura x comprimento x altura

V = 8 x 10 x 6 = 480 cm³

Agora, vamos calcular o volume de cada cubinho. Como a aresta do cubinho é de 2 cm, o volume do cubinho é:

Vc = aresta³ = 2³ = 8 cm³

O número total de cubinhos é obtido dividindo o volume do tablete pelo volume de cada cubinho:

Número de cubinhos = V / Vc = 480 / 8 = 60

Portanto, a resposta certa é B) 60.

Para resolver esse problema, vamos nomear os volumes dos dois sólidos como V1 e V2. Sabemos que a soma dos volumes é 45 cm³, então podemos escrever a equação:

V1 + V2 = 45

Além disso, sabemos que a razão entre os volumes é 2/3, então podemos escrever outra equação:

V1 / V2 = 2/3

Podemos reescrever essa equação como:

V1 = (2/3) * V2

Agora, substituimos essa equação na primeira equação:

((2/3) * V2) + V2 = 45

Para resolver essa equação, vamos começar por combinar os termos que contêm V2:

((2/3) + 1) * V2 = 45

((2/3) + 3/3) * V2 = 45

(5/3) * V2 = 45

V2 = (3/5) * 45

V2 = 27

Agora que sabemos que V2 é igual a 27, podemos encontrar V1:

V1 = (2/3) * 27

V1 = 18

Portanto, os volumes dos dois sólidos são 27 cm³ e 18 cm³, que correspondem à opção C) 27 e 18.

Vamos resolver o problema passo a passo! Primeiramente, precisamos encontrar a medida da aresta do cubo. Sabendo que o volume do cubo é 216 cm³, podemos calcular a medida da aresta utilizando a fórmula do volume do cubo (V = a³, onde "a" é a medida da aresta).

Portanto, 216 = a³ => a = 6 cm (pois 6³ = 216).

Agora que temos a medida da aresta do cubo, podemos utilizar essa informação para encontrar a largura do paralelepípedo, que é igual à medida da aresta do cubo. Logo, a largura do paralelepípedo é 6 cm.

Já que a largura do paralelepípedo é o dobro do seu comprimento, podemos calcular o comprimento: largura = 2 × comprimento => 6 = 2 × comprimento => comprimento = 3 cm.

Além disso, a altura do paralelepípedo é o triplo da largura, então altura = 3 × largura => altura = 3 × 6 => altura = 18 cm.

Agora que temos todas as medidas do paralelepípedo, podemos calcular seu volume utilizando a fórmula do volume do paralelepípedo (V = comprimento × largura × altura).

V = 3 cm × 6 cm × 18 cm = 324 cm³.

Portanto, o volume do paralelepípedo é 324 cm³, que é a opção D).

As dimensões de uma piscina olímpica são 20 m de comprimento, 10 m de largura e 5 m de profundidade. Qual seu volume, em litros?

• A)1000
• B)10 000
• C)100
• D)1 000 000
• E)10 000 000

Para encontrar o volume da piscina, precisamos multiplicar as três dimensões: comprimento, largura e profundidade. Isso porque o volume de um paralelepípedo (que é o formato da piscina) é dado pelo produto das três dimensões.

Então, vamos calcular o volume:

Volume = Comprimento x Largura x Profundidade

Volume = 20 m x 10 m x 5 m

Volume = 1000 m³

Agora, precisamos converter o volume de metros cúbicos (m³) para litros. Sabemos que 1 m³ é igual a 1000 litros, então:

Volume em litros = 1000 m³ x 1000 litros/m³

Volume em litros = 1 000 000 litros

E aí está! O volume da piscina olímpica é de 1 000 000 litros, que é a opção D).

Essa foi uma questão clássica de matemática, que exige apenas um pouco de conhecimento sobre o cálculo de volumes e conversão de unidades. Esperamos que tenha sido útil!

Vamos analisar a questão com calma e encontrar a solução. Primeiramente, precisamos calcular a quantidade total de combustível no recipiente.

O volume do paralelepípedo retângulo é calculado pela fórmula: V = lado² × altura. No caso, lado = 50 cm e altura = 40 cm. Então, V = 50² × 40 = 100.000 cm³.

Como 1 litro é igual a 1.000 cm³, o volume total do combustível é de 100.000 cm³ ÷ 1.000 cm³/L = 100 L.

Agora, vamos calcular a quantidade de álcool no combustível. Se 40% do combustível é álcool, então a quantidade de álcool é de 40% × 100 L = 40 L.

Quando o teor de álcool é reduzido para 22%, a quantidade de álcool torna-se 22% × 100 L = 22 L.

Para alcançar essa redução, é necessário retirar uma quantidade de combustível que contenha 40 L - 22 L = 18 L de álcool.

Como o combustível é homogêneo, a quantidade de combustível a ser retirada é a mesma proporção da quantidade total de combustível. Logo, a quantidade de combustível a ser retirada é de (18 L ÷ 40 L) × 100 L = 45 L.

Portanto, a quantidade de combustível que deve ser retirada do recipiente é superior a 40 litros.

• C) CERTO

Vamos analisar essa situação e calcular a altura do combustível que restou no recipiente. Primeiramente, precisamos descobrir o volume total do combustível no recipiente. Como a base do recipiente é um quadrado de lado 50 cm, a área da base é 50 cm × 50 cm = 2500 cm². Com a altura de 40 cm, o volume do recipiente é 2500 cm² × 40 cm = 100000 cm³. Para converter isso para litros, dividimos por 1000 (pois 1 litro é igual a 1000 cm³), obtendo 100000 cm³ ÷ 1000 = 100 litros.

Agora, sabemos que 40% do combustível é álcool, mas isso não é relevante para o cálculo da altura do combustível. O importante é que 30 litros do combustível foram retirados, restando 100 litros - 30 litros = 70 litros de combustível no recipiente.

Para encontrar a altura do combustível restante, precisamos dividir o volume restante pelo área da base do recipiente. Fazendo isso, obtemos 70 litros × 1000 cm³/litro ÷ 2500 cm² = 28 cm. Portanto, a altura do combustível que restou no recipiente é de 28 cm, que é menor que 30 cm.

Por isso, a resposta certa é:

• C) CERTO