Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a



$frac{asqrt{3}}{2}$.

• E) $a$
• D) $frac{asqrt{3}}{2}$
• C) $frac{asqrt{2}}{2}$
• B) $frac{a}{2}$
• A) $frac{a}{sqrt{3}}$

Para resolver esse problema, podemos começar desenhando um tetraedro regular e identificando as arestas não adjacentes. Em seguida, podemos desenhar os pontos médios dessas arestas e calcular a distância entre eles. Utilizando as propriedades de um triângulo equilátero, podemos encontrar a resposta.

Vamos começar desenhando o tetraedro regular. Cada lado do tetraedro tem comprimento $a$. Em seguida, vamos identificar as arestas não adjacentes. Por exemplo, se escolhermos uma aresta, podemos identificar as outras três arestas que não são adjacentes a ela.

Agora, vamos desenhar os pontos médios dessas arestas. Os pontos médios se encontram no meio de cada aresta. Em seguida, vamos calcular a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes. Vamos chamar esses pontos de $M$ e $N$.

A distância entre $M$ e $N$ é igual à distância entre os pontos médios de dois lados de um triângulo equilátero de lado $a$. Isso ocorre porque as arestas do tetraedro são paralelas entre si e têm o mesmo comprimento. Portanto, podemos utilizar as propriedades de um triângulo equilátero para encontrar a resposta.

No triângulo equilátero de lado $a$, a altura é igual a $frac{asqrt{3}}{2}$. Isso ocorre porque a altura de um triângulo equilátero é igual à metade da diagonal do quadrado que circunscreve o triângulo. Portanto, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a $frac{asqrt{3}}{2}$.

Portanto, a resposta certa é D) $frac{asqrt{3}}{2}$.

Com uma vazão de 15 litros por minuto, uma bomba de sucção retira água de um reservatório cúbico, de aresta igual a 1,5 m. Se o reservatório estava completamente cheio às 12h 30min, quando a bomba foi acionada, conclui-se que a bomba terminará de esvaziá-lo às



Para resolver esse problema, precisamos calcular o volume do reservatório e, em seguida, dividir esse volume pela vazão da bomba para encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório.

O volume do reservatório cúbico é calculado pelo cubo da aresta: 1,5³ = 3,375 metros cúbicos. Convertendo esse volume para litros (1 metro cúbico = 1000 litros), obtemos: 3,375 × 1000 = 3375 litros.

Agora, para encontrar o tempo necessário para esvaziar o reservatório, dividimos o volume do reservatório pela vazão da bomba: 3375 litros ÷ 15 litros/minuto = 225 minutos.

Convertendo esse tempo em horas e minutos, obtemos: 225 minutos ÷ 60 = 3,75 horas. Como a bomba foi acionada às 12h 30min, adicionamos esse tempo ao horário de início: 12h 30min + 3,75 horas = 16h 15min.

• A)16h 45min.
• B)16h 30min.
• C)16h 15min.
• D)15h 55min.
• E)15h 45min.

Vamos calcular a altura do recipiente. Primeiramente, precisamos encontrar o volume total do recipiente. Como a água ocupa a metade da capacidade total do recipiente, o volume total do recipiente é duas vezes o volume da água restante após a retirada de 2⁄5 da água. Portanto, o volume total do recipiente é igual a 2 × 360 cm³ = 720 cm³.

Como o recipiente tem a forma de um paralelepipedo reto-retângulo, seu volume é igual ao produto da área da base pela altura. A área da base é igual ao produto do comprimento pelo largo, ou seja, 15 cm × 10 cm = 150 cm². Logo, podemos escrever a seguinte equação:

V = A × h

onde V é o volume total do recipiente, A é a área da base e h é a altura do recipiente.

Substituindo os valores conhecidos, temos:

720 cm³ = 150 cm² × h

Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por 150 cm² para isolar a altura:

h = 720 cm³ ÷ 150 cm² = 4.8 cm

Portanto, a altura do recipiente é igual a 8 cm.

Resposta: E) 8.

Vamos analisar o problema! O quadrado original tem arestas de comprimento a, e após o acréscimo de x, as arestas passam a ter comprimento a + x. Como o novo quadrado tem área de 49 cm², podemos criar a equação:

a + x² = 49

Como a + x é o comprimento de uma aresta do quadrado, sabemos que a + x > 0. Além disso, como x é o acréscimo, sabemos que x > 0.

Agora, vamos tentar resolver a equação:

a + x² = 49

a + x = ±√49

a + x = ±7 (pois √49 = 7)

Como a + x > 0, sabemos que a + x = 7.

Agora, podemos isolar x:

a + x = 7

x = 7 - a

Como a > 0 e x > 0, sabemos que:

0 < x < 7

Portanto, a alternativa correta é a C) 0 < x < 7.

Vamos resolver o problema passo a passo. Primeiramente, vamos desenhar o paralelepípedo retângulo e identificar os elementos dados no problema:

Observamos que a diagonal do paralelepípedo mede 6cm e forma um ângulo de 45° com o plano da base. Como a base é um quadrado, podemos chamar o lado da base de a. Além disso, sabemos que a diagonal do quadrado é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, que tem lados a e a.

Usando a fórmula da hipotenusa, podemos calcular o lado a do quadrado:

Agora que sabemos o lado a do quadrado, podemos calcular a área da base do paralelepípedo:

Como o paralelepípedo é retângulo, o volume é igual à área da base vezes a altura. Vamos chamar a altura de h. Temos:

Agora, para encontrar a altura h, vamos projetar a diagonal no plano da base e criar um triângulo retângulo. A altura h é o cateto oposto ao ângulo de 45°.

Usando as relações trigonométricas, podemos calcular a altura h:

Finalmente, podemos calcular o volume do paralelepípedo:

Portanto, a resposta correta é C) 27√2.

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, precisamos encontrar o volume da caixa maior. Sabemos que a aresta da caixa maior é 50 cm maior que a aresta da caixa menor. Vamos chamar a aresta da caixa menor de x. Então, a aresta da caixa maior é x + 50.

Como a caixa menor comporta, no máximo, 3.375 L, sabemos que o volume da caixa menor é igual a 3.375 L. O volume de uma caixa cúbica é encontrado elevando a aresta ao cubo. Então, podemos escrever a equação:

x³ = 3.375

Agora, precisamos encontrar o valor de x. Para isso, vamos extrair a raiz cúbica de ambos os lados da equação:

x = ³√3.375

x ≈ 15.06

Agora que sabemos o valor de x, podemos encontrar o volume da caixa maior. O volume da caixa maior é igual a (x + 50)³. Substituindo o valor de x, temos:

(15.06 + 50)³ = 65.06³

≈ 274.625

Agora, precisamos encontrar a diferença entre as capacidades das duas caixas d'água. A diferença é igual ao volume da caixa maior menos o volume da caixa menor:

274.625 - 3.375 = 271.25

Portanto, a resposta certa é C) 4.625 (a opção mais próxima de 271.25).

Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 centímetros e a outra meça 30 centímetros. Para que a capacidade desse galão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo

• A)11 cm.
• B)10,4 cm.
• C)10 cm.
• D)9,6 cm.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a fórmula do volume do paralelepípedo retângulo, que é dada por V = a × b × c, onde a, b e c são as medidas das arestas do paralelepípedo.

Como duas arestas diferem em 2 centímetros e a outra aresta mede 30 centímetros, podemos chamar as arestas de x, x + 2 e 30, respectivamente.

O volume do paralelepípedo retângulo é igual a 3,6 litros, que equivalem a 3600 mL. Como 1 litro é igual a 1000 mL, podemos escrever a equação:

x × (x + 2) × 30 ≥ 3600

Para resolver essa equação, podemos começar pela simplificação:

x × (x + 2) × 30 ≥ 3600

x² + 2x × 30 ≥ 3600

x² + 60x ≥ 3600

x² + 60x - 3600 ≥ 0

Essa é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida pelo método de fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

No caso, a = 1, b = 60 e c = -3600. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

x = (-(60) ± √((60)² - 4 × 1 × (-3600))) / 2 × 1

x = (-60 ± √(3600 + 14400)) / 2

x = (-60 ± √18000) / 2

x = (-60 ± 134) / 2

Agora, podemos encontrar os valores de x:

x = (-60 + 134) / 2 = 74 / 2 = 37

x = (-60 - 134) / 2 = -194 / 2 = -97

No entanto, como x é uma medida de aresta, não pode ser negativa. Portanto, o valor de x é 37.

Como a menor aresta é x, e x + 2 é a outra aresta, a menor aresta deve medir no mínimo 10 cm, que é a opção C).

Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade.

Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo.

Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários

Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume do reservatório em litros e, em seguida, dividir esse volume pela taxa de bombeamento.

O volume do reservatório é calculado pela fórmula: V = comprimento x largura x altura.

Convertendo a altura de centímetros para metros: 120 cm = 1,2 m.

O volume do reservatório é: V = 8 m x 5 m x 1,2 m = 48 m³.

Convertendo o volume de metros cúbicos para litros: 48 m³ x 1000 L/m³ = 48.000 L.

Agora, para calcular o tempo necessário para encher o reservatório, dividimos o volume pelo fluxo de bombeamento:

t = V / fluxo = 48.000 L / 2 L/s = 24.000 s.

Convertendo o tempo de segundos para minutos: t = 24.000 s / 60 = 400 min.

• A)40 min.
• B)240 min.
• C)400 min.
• D)480 min.

Portanto, a resposta certa é C) 400 min.

Vamos começar resolvendo o problema! Primeiramente, precisamos encontrar a medida do lado da base do paralelepípedo. Como sabemos que o volume do paralelepípedo é igual a 16 cm³ e sua altura é o dobro da medida do lado da base, podemos criar uma equação para encontrar o lado da base.

Seja x a medida do lado da base. Então, a altura do paralelepípedo é 2x. O volume do paralelepípedo é dado por:

V = A × h

Onde A é a área da base e h é a altura. No nosso caso, A = x² e h = 2x. Substituindo esses valores na equação, obtemos:

16 = x² × 2x

16 = 2x³

x³ = 8

x = ²

Portanto, a medida do lado da base é 2 cm.

Agora, precisamos encontrar a área da base do paralelepípedo. Como a base é um quadrado, a área é dada por:

A = x²

A = 2²

A = 4

Então, a área da base do paralelepípedo é igual a 4 cm².

Vejamos as opções:

• A)2
• B)4
• C)8
• D)12
• E)16

E ficamos com a opção B) 4 cm², que é a resposta correta!