Questões Sobre Poliedros - Matemática - concurso

Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

• A)Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
• B)Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
• C)Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
• D)O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
• E)O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

A resposta certa é a opção C). Isso ocorre porque, quando um plano intercepta uma face da pirâmide, forma-se um segmento de reta. Como a pirâmide tem 4 faces laterais e 1 face base, ao interceptar todas as faces, o polígono obtido tem 5 lados.

Vamos analisar as outras opções:

A opção A) está errada, pois as arestas laterais da pirâmide não formam um polígono de 4 lados. Além disso, a interseção do plano com as arestas laterais não é suficiente para garantir que o polígono tenha 4 lados.

A opção B) também está errada, pois a interseção do plano com as faces triangulares da pirâmide pode resultar em polígonos com número de lados variado, mas não necessariamente 4.

A opção D) está errada, pois o número de lados do polígono não é igual ao número de faces da pirâmide. Isso ocorre porque a interseção do plano com as faces da pirâmide pode resultar em polígonos com número de lados diferente do número de faces.

A opção E) está errada, pois o número de lados do polígono não é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Isso ocorre porque a interseção do plano com as arestas laterais da pirâmide não é suficiente para garantir que o polígono tenha 4 lados.

Vamos resolver este problema de física de uma forma divertida! Para encontrar a altura da água no aquário quando apoiado sobre a face de dimensões 20cm x 30cm, precisamos calcular o volume do líquido primeiro.

O volume do líquido é igual ao volume do aquário ocupado pela água. Quando o aquário está apoiado sobre a face de dimensões 40cm x 20cm, o nível da água é de 25cm. Isso significa que o volume do líquido é igual ao volume do paralelepípedo retângulo com dimensões 40cm x 20cm x 25cm.

Para calcular o volume, multiplicamos as três dimensões: 40cm x 20cm x 25cm = 20.000 cm³. Agora que sabemos o volume do líquido, podemos encontrar a altura da água quando o aquário está apoiado sobre a face de dimensões 20cm x 30cm.

Para fazer isso, precisamos encontrar a área da base do paralelepípedo retângulo com dimensões 20cm x 30cm, que é igual a 20cm x 30cm = 600 cm². Em seguida, dividimos o volume do líquido pela área da base para encontrar a altura:

20.000 cm³ ÷ 600 cm² = 33,33 cm ≈ 33 cm

E é isso! A altura da água quando o aquário está apoiado sobre a face de dimensões 20cm x 30cm é de aproximadamente 33 cm.

Agora você pode escolher a resposta certa:

• A)16cm.
• B)17cm.
• C)33cm.
• D)35cm.

A medida da diagonal de uma caixa cúbica é igual a 4√3m. O volume, em m³ , ocupado por essa caixa é igual a:

• A)64
• B)32
• C)24
• D)16
• E)12

Vamos resolver esse problema! Primeiramente, precisamos encontrar a aresta da caixa cúbica. Para isso, vamos utilizar a fórmula da diagonal de um cubo, que é d = aresta × √3. Como a diagonal é igual a 4√3 m, podemos escrever:

d = aresta × √3
4√3 = aresta × √3
aresta = 4

Agora que sabemos a aresta, podemos calcular o volume da caixa cúbica. O volume de um cubo é igual ao cubo da aresta, então:

V = aresta³
V = 4³
V = 64 m³

Portanto, a resposta certa é A) 64.

Um problema semelhante seria se você tivesse uma caixa cúbica com uma aresta de 5 metros e quisesse calcular a diagonal. Você poderia usar a fórmula da diagonal de um cubo novamente:

d = aresta × √3
d = 5 × √3
d = 5√3

Ou, se você quisesse calcular o volume da caixa cúbica, você poderia usar a fórmula do volume de um cubo:

V = aresta³
V = 5³
V = 125 m³

Essas são apenas algumas das coisas que você pode fazer com essas fórmulas. Elas são muito úteis em problemas que envolvem caixas cúbicas!

A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080°. Determine o número de faces, sabendo-se que o poliedro tem 8 arestas:

• A)3
• B)4
• C)5
• D)6
• E)7

Para resolver esse problema, precisamos conhecer uma propriedade importante dos poliedros convexos. A soma das medidas dos ângulos internos de um poliedro convexo é igual a 180°(n-2), onde n é o número de faces do poliedro.

No nosso caso, sabemos que a soma dos ângulos internos é 1080°. Portanto, podemos igualar essa expressão à fórmula:

180°(n-2) = 1080°

Agora, podemos resolver a equação para encontrar o valor de n:

180°(n-2) = 1080°

180n - 360 = 1080

180n = 1440

n = 1440/180

n = 8

Mas, como o problema nos diz que o poliedro tem 8 arestas, sabemos que o número de faces é igual ao número de arestas menos 2 (essa é outra propriedade importante dos poliedros convexos). Portanto:

n = 8 - 2

n = 5

Logo, o gabarito correto é C) 5.

Vamos encontrar a área da região limitada pelo triângulo de vértices nos pontos L (0,1), M (2,1) e N (1,-2) e aplicar as transformações para encontrar a área da região obtida.

Primeiramente, podemos encontrar a área do triângulo original. A base do triângulo é a distância entre os pontos L e M, que é igual a 2. A altura do triângulo é a distância entre os pontos L e N, que é igual a 3. Logo, a área do triângulo original é:

A = (base × altura) / 2 = (2 × 3) / 2 = 3.

Agora, vamos aplicar as transformações:

1. Homotetia de centro em (0,0) e razão k > 1:

Os vértices do triângulo se transformam em L' (0,k), M' (2k,k) e N' (k,-2k). A área do triângulo se transforma em:

A' = k² × A = k² × 3.

2. Rotação de 30º em torno da origem:

A rotação não altera a área do triângulo, pois é uma transformação que preserva a área.

3. Reflexão em torno da reta y = x + 1:

A reflexão também não altera a área do triângulo, pois é uma transformação que preserva a área.

Portanto, a área da região obtida após as transformações é A' = k² × 3.

Como a razão k é maior que 1, podemos escrever k = √r, onde r > 1. Logo, a área da região obtida é:

A' = (√r)² × 3 = r × 3.

Como r > 1, podemos escrever r = 2, por exemplo. Logo, a área da região obtida é:

A' = 2 × 3 = 6.

Porém, como a resposta deve ser dada em unidades de área, devemos dividir a área encontrada por 2:

A' = 6 / 2 = 3/².

Portanto, a resposta correta é D) 3/² unidades de área.

Vamos resolver esse problema passo a passo! Em primeiro lugar, precisamos encontrar a área da base do cone circular invertido, que é a área do círculo com raio 6m. A fórmula para calcular a área do círculo é:

A = πr², onde A é a área e r é o raio.

No nosso caso, A = 3,14 × 6² = 3,14 × 36 = 113,04 m².

Agora, precisamos encontrar o volume do cone circular invertido até a altura de 4m. A fórmula para calcular o volume do cone é:

V = (1/3)Ah, onde V é o volume, A é a área da base e h é a altura.

No nosso caso, V = (1/3) × 113,04 × 4 = 150,72 m³.

Agora, precisamos encontrar a taxa na qual o nível da água está elevando. Sabemos que a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4m³/min.

Para encontrar a taxa na qual o nível da água está elevando, precisamos dividir a taxa de bombeamento pela área da base do cone:

taxa de elevação = taxa de bombeamento / área da base = 4m³/min / 113,04 m² ≈ 0,0354 m/min.

Portanto, a resposta correta é:

A) 0,32 m/min (aproximadamente).

Essa é a resposta mais próxima da nossa resposta calculada!

Vamos calcular o volume da caixa de encomenda temática da ECT. Lembre-se de que o volume de um paralelepípedo retângulo é calculado pela fórmula:

V = l × c × a

Onde V é o volume, l é o comprimento, c é a largura e a é a altura.

No caso da caixa em questão, temos:

l = 270 mm = 27 cm (convertendo mm para cm)

c = 180 mm = 18 cm (convertendo mm para cm)

a = 90 mm = 9 cm (convertendo mm para cm)

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

V = 27 × 18 × 9 = 4352 cm³

Como 4352 cm³ é inferior a 5000 cm³, podemos dizer que o volume da caixa é inferior a 5 litros (1 litro = 1000 cm³). Portanto, a resposta correta é:

B) inferior a 5.

Essa é a resposta certa! Espero que tenha ajudado.

Vamos resolver este problema passo a passo. Primeiramente, precisamos encontrar a aresta do cubo original. Vamos chamar a aresta do cubo original de x. Quando aumentamos a aresta em 2 cm, a nova aresta será x + 2 cm.

A área de uma face do cubo original é x². A área de uma face do cubo aumentado é (x + 2)². O aumento na área de cada face é (x + 2)² - x² = 4x + 4.

Como sabemos que o aumento na área de cada face é 16 cm², podemos igualar a expressão acima a 16:

4x + 4 = 16

Subtraindo 4 de ambos os lados:

4x = 12

Dividindo ambos os lados por 4:

x = 3

Portanto, a aresta do cubo original é 3 cm.

O volume do cubo original é 3³ = 27 cm³.

O volume do cubo aumentado é (3 + 2)³ = 5³ = 125 cm³.

Portanto, a resposta certa é E) 125.

Essa foi a solução do problema. Espero que tenha ajudado!

Nos Correios, são utilizados vários tipos de caixas para o envio de encomendas, entre elas, a caixa do tipo 4B, um paralelepípedo retângulo, em papel ondulado, com arestas medindo 360 mm, 270 mm e 180 mm.

O volume dessa caixa, em dm³ , é calculado pela fórmula do volume do paralelepípedo, que é V = l × c × a, onde l é o comprimento, c é a largura e a é a altura. Substituindo os valores, temos V = 36 cm × 27 cm × 18 cm = 17.388 dm³.

Portanto, o volume da caixa 4B é superior a 15 e inferior a 18, o que corresponde à alternativa E) superior a 15 e inferior a 18. É importante notar que, para resolver esse tipo de problema, é fundamental conhecer a fórmula do volume do paralelepípedo e saber aplicá-la corretamente. Além disso, é preciso ter atenção aos unidades de medida, convertendo os valores de milímetros para decímetros, se necessário.

Em resumo, a escolha da alternativa correta depende do cálculo do volume da caixa e da comparação com as opções apresentadas. Nesse caso, a resposta certa é a alternativa E).

Ao aumentar a aresta de um cubo em 50%, o seu volume aumenta 513 cm ³ . A diagonal deste cubo mede

• A)2√3cm
• B)3√3cm.
• C)4√3cm.
• D)5√3cm.
• E)6√3cm.

Para encontrar a resposta certa, vamos analisar a situação. Se a aresta do cubo aumenta em 50%, isso significa que a nova aresta é 1,5 vezes a aresta original. Como o volume do cubo é proporcional ao cubo da aresta, o volume aumenta em 1,5³ = 3,375 vezes. Portanto, o volume aumentou de x para 3,375x.

Como o volume aumentou em 513 cm³, podemos estabelecer a equação:

3,375x - x = 513

ou seja, 2,375x = 513.

Dividindo ambos os lados por 2,375, encontramos:

x = 216 cm³

Isso significa que o volume original do cubo era de 216 cm³. Agora, podemos encontrar a aresta original do cubo:

v = a³ => a = ∛v

a = ∛216 = 6 cm

Agora que sabemos a aresta original, podemos encontrar a diagonal do cubo:

d = √3a

d = √3(6)

d = 6√3 cm

Portanto, a resposta certa é E) 6√3 cm.