Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

• A)6
• B)8
• C)14
• D)24
• E)30

O gabarito correto é C). Isso porque, quando se retira um tetraedro de cada vértice do cubo, restam 6 faces originais do cubo e 8 faces triangulares adicionais, totalizando 14 faces.

Vamos analisar melhor como isso ocorre. Quando se corta um vértice do cubo, é retirado um tetraedro. Cada tetraedro tem 4 faces triangulares. Como o cubo tem 8 vértices, são retirados 8 tetraedros, resultando em 8 x 4 = 32 faces triangulares.

No entanto, essas 32 faces triangulares não são todas faces independentes do poliedro P. Algumas delas se unem para formar faces maiores. É fácil notar que cada face triangular se une com outras três faces triangulares para formar uma face maior.

Portanto, as 32 faces triangulares se unem em grupos de 4 para formar 32/4 = 8 faces maiores. Além disso, as 6 faces originais do cubo permanecem intactas. Ao somar as 6 faces originais com as 8 faces maiores, temos um total de 14 faces.

Cada uma dessas 14 faces é pintada com uma cor distinta, o que justifica a resposta C)14.