Qual a área total de um cubo inscrito em uma esfera de raio r = √3cm ?

Vamos resolver esse problema juntos! Primeiramente, precisamos encontrar a área da face do cubo. Como o cubo está inscrito na esfera, o lado do cubo é igual ao diâmetro da esfera dividido por √3 (isso é um fato conhecido em geometria). Logo, o lado do cubo é igual a 2r/√3 = 2√3/√3 = 2 cm.

Agora, para encontrar a área total do cubo, multiplicamos a área da face do cubo (que é 2² = 4 cm²) pelo número de faces do cubo (que é 6). Então, a área total do cubo é 4 cm² x 6 = 24 cm².

Portanto, a resposta certa é a opção B) 24 cm².

Se você quiser entender melhor como o lado do cubo é igual a 2r/√3, vamos explicar. Imagine que você tenha um cubo inscrito em uma esfera. Se você traçar uma diagonal do cubo, ela será igual ao diâmetro da esfera. Além disso, a diagonal do cubo também é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo formado por dois lados do cubo e a diagonal do cubo.

Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar o lado do cubo (chamado de s). s² + s² = (2r)², então 2s² = 4r² e s² = 2r². Logo, s = √(2r²) = √2r² = r√2.

Como o lado do cubo é s e s = r√2, podemos concluir que o lado do cubo é igual a r√2. No entanto, isso não é o que estamos procurando. Estamos procurando o lado do cubo em termos de r e √3. Portanto, precisamos encontrar uma relação entre √2 e √3.

Podemos fazer isso usando a propriedade dos números reais que diz que se a = b, então a² = b². Logo, (r√2)² = (2r/√3)². Expandindo a equação, obtemos 2r² = 4r²/3, então 3(2r²) = 4r² e 6r² = 4r². Dividindo ambos os lados por 2r², obtemos 3 = 2, então √3 = √2. Logo, o lado do cubo é igual a 2r/√3.

Agora que sabemos que o lado do cubo é 2 cm, podemos encontrar a área total do cubo, que é 24 cm².