Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro.

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro.

• E)

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a altura do tetraedro e, em seguida, calcular a distância do plano horizontal até a base do tetraedro. Sabemos que a altura do tetraedro é igual à distância entre o vértice A e o centro do triângulo BCD, que é igual a a√6/3. Portanto, um quarto da altura do tetraedro é igual a a√6/12.

Em seguida, precisamos encontrar a área da seção do octaedro. Para isso, vamos desenhar uma figura que represente a seção do octaedro pelo plano horizontal. Vamos chamar os vértices do octaedro de E, F, G e H, que são os pontos médios das arestas do tetraedro. A figura que representa a seção do octaedro é um quadrilátero EFGH.

Podemos notar que os triângulos AEF e ABF são congruentes, pois compartilham o lado AE e os ângulos A são iguais. Além disso, os triângulos CEF e CFE também são congruentes, pois compartilham o lado CE e os ângulos C são iguais. Portanto, as alturas dos triângulos AEF e CEF são iguais e igualam a√6/12.

Como os triângulos AEF e CEF têm a mesma altura e a mesma base (a/2), suas áreas são iguais. A área do quadrilátero EFGH é igual ao dobro da área do triângulo AEF, que é igual a a²√3/16. Portanto, a área da seção do octaedro é igual a a²√3/8.

O gabarito correto é C) a²√3/8.