Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é;

Vamos analisar essa questão mais de perto! Como as três arestas do cubo compartilham um vértice comum, elas também formam as arestas de um tetraedro. Isso significa que o tetraedro está inserido no cubo.

Para encontrar a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo, precisamos calcular os volumes de ambos. Vamos começar pelo cubo. Seja "s" o lado do cubo. Então, o volume do cubo é dado por:

V_cubo = s³

Agora, vamos ao tetraedro. Seja "h" a altura do tetraedro. Como o tetraedro está inserido no cubo, a altura do tetraedro é igual à metade do lado do cubo (h = s/2). Além disso, a base do tetraedro é um triângulo equilátero com lado igual ao lado do cubo (s). Então, a área da base do tetraedro é:

A_base = (√3/4) * s²

O volume do tetraedro é dado por:

V_tetraedro = (1/3) * A_base * h

Substituindo os valores, obtemos:

V_tetraedro = (1/3) * (√3/4) * s² * (s/2) = (√3/24) * s³

Agora, podemos calcular a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo:

V_tetraedro / V_cubo = ((√3/24) * s³) / s³ = √3/24

Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:

V_tetraedro / V_cubo = (√3/24) * (√3/√3) = 3/24 = 1/6

Portanto, a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é 1/6, que é a opção B)!

• A) 1/8
• B) 1/6
• C) 2/9
• D) 1/4
• E) 1/3