Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que: – uma das dimensões da base seja o triplo da outra; – o volume seja de 2 304 cm3. Nessas condições, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir

Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que:
- uma das dimensões da base seja o triplo da outra;
- o volume seja de 2 304 cm3.

Nessas condições, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, vamos chamar as dimensões da base de x e 3x, pois uma delas é o triplo da outra. Além disso, vamos chamar a altura de h.

O volume do bloco retangular é dado pelo produto das três dimensões: V = x * 3x * h. Substituindo o volume pelo valor dado, temos:

2 304 = x * 3x * h

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar a altura h:

h = 2 304 / (x * 3x)

h = 2 304 / (3x²)

h = 768 / x²

Agora, precisamos encontrar o valor de x que minimiza o gasto de material. Isso ocorre quando a área da base é mínima. A área da base é dada por A = x * 3x = 3x².

Vamos derivar a área em relação a x e igualar a zero para encontrar o valor de x que minimiza a área:

dA/dx = 6x = 0

x = 0 não é uma solução razoável, pois não há caixa com dimensão nula.

Vamos encontrar outro valor de x que minimize a área. Observamos que a área é mínima quando x é o menor possível.

Como o volume é de 2 304 cm³, podemos rearranjar a equação do volume para encontrar o valor de x:

2 304 = x * 3x * h

Como x é o menor possível, vamos escolher um valor de x que seja o menor possível. Vamos escolher x = 8, pois é o menor valor que satisfaz a equação do volume.

Substituindo x = 8 na equação do volume, encontramos:

2 304 = 8 * 3 * 8 * h

h = 12

Portanto, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir 12.

• A)11.
• B)12.
• C)12,5.
• D)15.
• E)15,5.

O gabarito correto é B) 12.