Questões Sobre Polígonos Regulares - Matemática - concurso

Com relação a polígonos regulares e convexos, julgue o item a seguir.

O dodecágono é um polígono regular cujo ângulo interno é igual a 162º.

Para determinar se a afirmação está certa ou errada, é necessário lembrar que o ângulo interno de um polígono regular pode ser calculado pela fórmula: (n-2) × 180º / n, onde n é o número de lados do polígono.

No caso do dodecágono, que tem 12 lados, o ângulo interno pode ser calculado da seguinte maneira:

(12-2) × 180º / 12 = 150º

Portanto, o ângulo interno do dodecágono não é igual a 162º, mas sim a 150º.

Assim, a afirmação inicial está ERRADA.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é E) ERRADO.

Considerando-se um hexágono regular inscrito em uma circunferência C1 de raio igual a 6cm e uma circunferência C2 inscrita nesse hexágono, verifica-se que o raio da circunferência C2 é igual a

• A)⅓√3 cm
• B)½√ 3 cm
• C)√3 cm
• D)3√3 cm
• E)2√3 cm

Para resolver esse problema, devemos lembrar que, em um hexágono regular, a relação entre o lado do hexágono e o raio da circunferência C1 é igual a √3. Além disso, como a circunferência C2 é inscrita no hexágono, o seu raio é igual ao lado do hexágono dividido por √3.

Como o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência C1 dividido por √3, temos que o lado do hexágono é igual a 6cm / √3. Agora, para encontrar o raio da circunferência C2, basta dividir o lado do hexágono por √3.

O lado do hexágono é igual a 6cm / √3 = 2√3 cm. Dividindo esse valor por √3, encontramos o raio da circunferência C2, que é igual a (2√3 cm) / √3 = 3√3 cm.

Portanto, a resposta correta é a opção D) 3√3 cm.

É importante notar que, ao resolver problemas de geometria, é fundamental ter conhecimento das relações entre as figuras geométricas e suas propriedades. Além disso, é essencial saber aplicar essas propriedades de forma correta para encontrar as respostas certas.

Esperamos que essa explicação tenha ajudado a esclarecer a resolução do problema e que você tenha aprendido algo novo hoje!

É importante lembrar que, em geometria, um quadrado é um tipo de retângulo com todos os lados iguais, enquanto um losango é um quadrilátero com todos os lados iguais, mas seus ângulos internos não precisam ser retos. Desta forma, podemos analisar cada afirmativa:

I- Todo quadrado é um retângulo. (VERDADEIRO) Um quadrado, por definição, é um tipo de retângulo.

II- Todo quadrado é um losango. (VERDADEIRO) Um quadrado também é um losango, pois todos os seus lados são iguais.

III- Todo losango é retângulo. (FALSO) Um losango não precisa ser um retângulo, pois seus ângulos internos não precisam ser retos.

IV- Existen paralelogramos que não são quadriláteros. (FALSO) Por definição, um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos.

Portanto, as afirmativas corretas são as de números I e II. A resposta certa é a opção B) I e II, apenas.

Vamos começar analisando o quadrado MNPQ. Como R é o ponto médio do lado PQ, isso significa que PR = RQ. Além disso, como MS é perpendicular a NR, podemos concluir que o ângulo MRS é um ângulo reto (90º). Isso nos permite criar um triângulo retângulo MRS, onde MS é a altura e RS é a hipotenusa.

Como MS mede 3 cm, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de RS. O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. No nosso caso, isso significa que:

MS² + SR² = RS²

Substituindo os valores, temos:

3² + SR² = RS²

9 + SR² = RS²

Agora, como RS é metade do lado do quadrado (já que R é o ponto médio do lado PQ), podemos escrever:

RS = 1/2 × lado do quadrado

Substituindo essa expressão em nossa equação anterior, obtemos:

9 + SR² = (1/2 × lado do quadrado)²

Para facilitar a resolução, vamos chamar o lado do quadrado de "x". Então, a equação se torna:

9 + SR² = (1/2 × x)²

Desenvolvendo a equação, temos:

9 + SR² = 1/4 × x²

Agora, precisamos encontrar o valor de SR. Para isso, vamos analisar o triângulo RNS. Como MS é perpendicular a NR, podemos concluir que o ângulo RNS é também um ângulo reto (90º). Além disso, como S é um ponto do segmento NR, podemos escrever:

SR = NS

Isso significa que o triângulo RNS é isósceles, com RS como base. Utilizando novamente o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

RS² = RN² + NS²

Substituindo os valores, temos:

(1/2 × x)² = RN² + NS²

Como RN = x/2 (já que R é o ponto médio do lado PQ), podemos escrever:

(1/2 × x)² = (x/2)² + NS²

Desenvolvendo a equação, temos:

1/4 × x² = 1/4 × x² + NS²

Subtraindo 1/4 × x² de ambos os lados, obtemos:

0 = NS²

Isso significa que NS = 0, o que é impossível, pois NS é um segmento de reta. Isso ocorre porque estamos trabalhando com uma condição de perpendicularidade (MS é perpendicular a NR), que não é verdadeira para todos os valores de x. Portanto, precisamos restringir o valor de x.

Reorganizando a equação 9 + SR² = 1/4 × x², podemos escrever:

x² = 36 + 4 × SR²

Como SR = NS, podemos substituir SR por NS, obtendo:

x² = 36 + 4 × NS²

Como NS é um segmento de reta, sabemos que NS ≥ 0. Além disso, como o lado do quadrado é maior que zero, temos x > 0. Portanto, podemos escrever:

x = √(36 + 4 × NS²)

Substituindo os valores, obtemos:

x = √(36 + 4 × 3²)

x = √(36 + 36)

x = √72

x = 1,5 × √5

Portanto, o lado do quadrado é 1,5 × √5 cm, que é a opção B.

Para resolver esse problema, precisamos utilizar as propriedades dos ângulos internos de um hexágono convexo. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é igual a 720º. Além disso, como as retas suportes dos pares de lados AB e DE, BC e EF, CD e AF são paralelas, podemos concluir que os ângulos opostos a esses lados são iguais.

Portanto, podemos escrever as seguintes equações:

• ∠EFA = ∠CDE = α
• ∠FAB = ∠BCA = β
• ∠ABC = ∠DEF = γ

Além disso, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto, podemos escrever as seguintes equações:

• ∠EFA + ∠FAB + ∠AFC = 180º
• ∠ABC + ∠BCD + ∠CDE = 180º
• ∠DEF + ∠EFD + ∠DFE = 180º

Substituindo as equações anteriores, obtemos:

• α + β + ∠AFC = 180º
• γ + ∠BCD + α = 180º
• γ + ∠EFD + ∠DFE = 180º

Somando as três equações anteriores, obtemos:

• 2α + 2β + 2γ + ∠AFC + ∠BCD + ∠EFD + ∠DFE = 540º

Como o hexágono é convexo, sabemos que a soma dos ângulos internos é igual a 720º. Portanto, podemos escrever:

• ∠AFC + ∠BCD + ∠EFD + ∠DFE = 180º

Substituindo essa equação na equação anterior, obtemos:

• 2α + 2β + 2γ = 720º

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:

• α + β + γ = 360º

Portanto, a resposta correta é a opção D) 360º.