Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a

Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R.

Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a

• A) (2 + √2)
• B) 2(2 + √2)
• C) 2(2 - √2)
• D) 2 - √2

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula para o perímetro de um polígono regular inscrito em uma circunferência. Sabemos que o perímetro do octógono é igual ao comprimento da circunferência λ, que é igual a 2πR. Além disso, como o octógono é regular, seu lado é igual ao comprimento da corda que une dois vértices consecutivos do octógono.

Considere um triângulo formado por dois vértices consecutivos do octógono e o centro da circunferência λ. Nesse triângulo, o lado do octógono é a corda do ângulo central de 45 graus. Logo, o comprimento do lado do octógono é igual a R√2.

O perímetro do octógono é então igual a 8R√2. Como o perímetro do octógono é igual ao comprimento da circunferência λ, temos que 2πR = 8R√2.

Agora, vamos utilizar a fórmula para o perímetro de um polígono regular circunscrito em uma circunferência. Sabemos que o perímetro do octógono é igual ao comprimento da circunferência α, que é igual a 2πr. Além disso, como o octógono é regular, seu lado é igual ao comprimento da corda que une dois vértices consecutivos do octógono.

Considere um triângulo formado por dois vértices consecutives do octógono e o centro da circunferência α. Nesse triângulo, o lado do octógono é a corda do ângulo central de 45 graus. Logo, o comprimento do lado do octógono é igual a r√2.

O perímetro do octógono é então igual a 8r√2. Como o perímetro do octógono é igual ao comprimento da circunferência α, temos que 2πr = 8r√2.

Agora, podemos utilizar as duas equações acima para encontrar a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α. Dividindo as duas equações, obtemos:

(2πR)^2 / (2πr)^2 = (8R√2)^2 / (8r√2)^2

R^2 / r^2 = 2(2 - √2)

Logo, a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é igual a 2(2 - √2), que é a opção C).