No quadrado MNPQ, R é o ponto médio do lado PQ, S é um ponto do segmento NR tal que os segmentos MS e NR são perpendiculares. Se a medida do segmento MS é 3 cm, então a medida do lado do quadrado é

Vamos começar analisando o quadrado MNPQ. Como R é o ponto médio do lado PQ, isso significa que PR = RQ. Além disso, como MS é perpendicular a NR, podemos concluir que o ângulo MRS é um ângulo reto (90º). Isso nos permite criar um triângulo retângulo MRS, onde MS é a altura e RS é a hipotenusa.

Como MS mede 3 cm, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de RS. O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. No nosso caso, isso significa que:

MS² + SR² = RS²

Substituindo os valores, temos:

3² + SR² = RS²

9 + SR² = RS²

Agora, como RS é metade do lado do quadrado (já que R é o ponto médio do lado PQ), podemos escrever:

RS = 1/2 × lado do quadrado

Substituindo essa expressão em nossa equação anterior, obtemos:

9 + SR² = (1/2 × lado do quadrado)²

Para facilitar a resolução, vamos chamar o lado do quadrado de "x". Então, a equação se torna:

9 + SR² = (1/2 × x)²

Desenvolvendo a equação, temos:

9 + SR² = 1/4 × x²

Agora, precisamos encontrar o valor de SR. Para isso, vamos analisar o triângulo RNS. Como MS é perpendicular a NR, podemos concluir que o ângulo RNS é também um ângulo reto (90º). Além disso, como S é um ponto do segmento NR, podemos escrever:

SR = NS

Isso significa que o triângulo RNS é isósceles, com RS como base. Utilizando novamente o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

RS² = RN² + NS²

Substituindo os valores, temos:

(1/2 × x)² = RN² + NS²

Como RN = x/2 (já que R é o ponto médio do lado PQ), podemos escrever:

(1/2 × x)² = (x/2)² + NS²

Desenvolvendo a equação, temos:

1/4 × x² = 1/4 × x² + NS²

Subtraindo 1/4 × x² de ambos os lados, obtemos:

0 = NS²

Isso significa que NS = 0, o que é impossível, pois NS é um segmento de reta. Isso ocorre porque estamos trabalhando com uma condição de perpendicularidade (MS é perpendicular a NR), que não é verdadeira para todos os valores de x. Portanto, precisamos restringir o valor de x.

Reorganizando a equação 9 + SR² = 1/4 × x², podemos escrever:

x² = 36 + 4 × SR²

Como SR = NS, podemos substituir SR por NS, obtendo:

x² = 36 + 4 × NS²

Como NS é um segmento de reta, sabemos que NS ≥ 0. Além disso, como o lado do quadrado é maior que zero, temos x > 0. Portanto, podemos escrever:

x = √(36 + 4 × NS²)

Substituindo os valores, obtemos:

x = √(36 + 4 × 3²)

x = √(36 + 36)

x = √72

x = 1,5 × √5

Portanto, o lado do quadrado é 1,5 × √5 cm, que é a opção B.