Questões Sobre Polígonos Regulares - Matemática - concurso

O mapa de um loteamento foi construído na escala 1:2500. No centro desse loteamento há uma praça que aparece no mapa como um retângulo de 3 cm por 4 cm. Para calcular a área real dessa praça, é necessário converter as medidas do mapa para medidas reais. Como a escala do mapa é 1:2500, isso significa que 1 cm no mapa equivale a 25 metros na realidade. Portanto, o retângulo de 3 cm por 4 cm no mapa equivale a um retângulo de 75 metros por 100 metros na realidade.

A área do retângulo é calculada multiplicando-se o comprimento pela largura, ou seja, 75 metros x 100 metros = 7500 metros quadrados. No entanto, como a resposta solicitada é em metros quadrados, a resposta correta é:

A área real dessa praça é de 750 m².

• A)300 m².
• B)3000 m².
• C)750 m².
• D)7500 m².
• E)12000 m².

Em regiões que são demarcadas, tendo como modelo de demarcação um polígono regular com n vértices, a medida, em graus, do ângulo interno formado por dois lados consecutivos, correspondentes a dois lados consecutivos desse modelo, é igual a 180 - (360/n).

Essa fórmula pode ser facilmente compreendida quando se analisa a soma dos ângulos internos de um polígono regular. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono regular é sempre igual a 180(n-2) graus.

Logo, se temos um polígono regular com n vértices, podemos dividir essa soma de ângulos internos por n, para encontrar a medida de cada ângulo interno. Fazendo essa divisão, obtemos:

180(n-2)/n = 180(n/n - 2/n) = 180 - (360/n)

Portanto, a medida do ângulo interno formado por dois lados consecutivos de um polígono regular com n vértices é igual a 180 - (360/n). Essa fórmula é muito útil para resolver problemas que envolvem polígonos regulares.

• E) 180 - (360/n)

Para a realização de uma perícia, uma região plana e retangular foi isolada. Sabendo-se que um dos lados dessa região isolada mede o dobro da medida do outro lado, um polinômio que pode ser utilizado para representar a área dessa região, considerando-se x + 2 a medida do seu menor lado, é

• A)3x + 8
• B)2x + 4
• C)2x² + 8x + 8
• D)x² + 2x + 4
• E)4x² + 4x + 6

Vamos analisar a situação problema por problema. Se um dos lados mede o dobro do outro, isso significa que, se o menor lado mede x + 2, o maior lado mede 2(x + 2) = 2x + 4. A área da região plana e retangular é dada pelo produto dos lados, ou seja, (x + 2) × (2x + 4).

Para encontrar o polinômio que representa a área, precisamos multiplicar os lados e desenvolver a expressão. Vamos começar multiplicando os termos:

(x + 2) × (2x + 4) = 2x² + 4x + 4x + 8

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

2x² + 4x + 4x + 8 = 2x² + 8x + 8

E, pronto! Encontramos o polinômio que representa a área da região plana e retangular. Observamos que a alternativa C) é a que apresenta essa expressão, portanto, é a resposta certa.

Para ter certeza de que não há erros, vamos analisar as outras alternativas. A alternativa A) apresenta um polinômio de grau 1, que não pode ser verdadeiro, pois a área de um retângulo é sempre um produto de dois lados, o que resulta em um polinômio de grau 2. A alternativa B) apresenta um polinômio que não é possível de ser obtido a partir da multiplicação dos lados. A alternativa D) apresenta um polinômio que também não é possível de ser obtido a partir da multiplicação dos lados. A alternativa E) apresenta um polinômio de grau 2, mas com coeficientes diferentes dos obtidos na multiplicação dos lados.

Com isso, podemos concluir que a alternativa C) é a única que apresenta o polinômio correto, que é 2x² + 8x + 8.

Determinada imagem quadrada com dimensões de 10 cm por 10 cm será ampliada e terá a área triplicada, sem alterar a forma. As novas dimensões da figura, em número inteiro, são aproximadamente:

• A)30 cm x 10 cm
• B)17 cm x 17 cm
• C)30 cm x 30 cm
• D)20 cm x 20 cm
• E)15 cm x 20 cm

Para encontrar a resposta certa, precisamos calcular a área original da figura, que é um quadrado de 10 cm por 10 cm. A área de um quadrado é calculada pela fórmula A = lado². Portanto, a área original é A = 10² = 100 cm².

Como a área precisa ser triplicada, o novo valor da área será 3 vezes o valor original, ou seja, 3 x 100 = 300 cm². Agora, precisamos encontrar o lado do novo quadrado que tem essa área.

Para isso, podemos utilizar a fórmula A = lado² novamente. Já que a área é 300 cm², podemos calcular o lado como segue: lado = √300 ≈ 17,32 cm. Como pedem as dimensões em número inteiro, podemos arredondar o valor para 17 cm.

Portanto, as novas dimensões do quadrado são aproximadamente 17 cm por 17 cm, que é a opção B). É importante notar que as outras opções não são válidas, pois não mantêm a forma do quadrado original.

Em resumo, para resolver esse tipo de problema, é fundamental lembrar que a área de um quadrado é calculada pela fórmula A = lado² e que, ao triplicar a área, precisamos encontrar o novo lado que satisfaz essa condição.

A fórmula para o perímetro do polígono regular é dada por nP, onde P é o comprimento de cada lado do polígono. Como o polígono está inscrito na circunferência, cada lado do polígono é igual ao diâmetro da circunferência dividido pelo número de lados do polígono. Ou seja, P = 2r sen(180/n), pois o diâmetro da circunferência é igual ao dobro do raio. Substituindo essa expressão em nP, obtemos que o perímetro do polígono é igual a 2nr sen(180/n).

Portanto, o perímetro do polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio r é dado por:

• B) 2nr sen(180/n)

Vamos começar analisando o formato do jardim, que é um hexágono regular. Isso significa que todos os lados do hexágono têm o mesmo comprimento. Além disso, como o perímetro do hexágono é de 36 metros, podemos calcular o comprimento de cada lado dividindo o perímetro pelo número de lados.

Um hexágono tem 6 lados, então o comprimento de cada lado é 36 metros ÷ 6 = 6 metros.

Agora, precisamos encontrar a distância entre dois lados paralelos quaisquer do jardim. Como o hexágono é regular, todos os lados paralelos têm a mesma distância entre si. Podemos encontrar essa distância utilizando a fórmula da altura de um triângulo equilátero, que é √(3) vezes o comprimento do lado.

No caso, a altura do triângulo equilátero é √(3) × 6 = 10,39 metros. Portanto, a alternativa que mais se aproxima da menor distância entre dois lados paralelos quaisquer desse jardim é E) 10,2 metros.

Essa é a resposta certa! Além disso, é importante notar que, como o hexágono é regular, a distância entre quaisquer dois lados paralelos é sempre a mesma.