Questões Sobre Polígonos Regulares - Matemática - concurso

Um número complexo w possui módulo igual a 16 e argumento igual a 4π/3 rad.

Pode-se afirmar que a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes da equação z4 = w é igual a

• A) 8.
• B) 16.
• C) 32.
• D) 64.
• E) 128.

Vamos resolver essa equação para encontrar as raízes e, em seguida, calcular a área do polígono.

Primeiramente, devemos encontrar as raízes da equação z4 = w. Para isso, podemos utilizar a fórmula de De Moivre:

z = w1/4 = 161/4(cos(4π/3 + 2kπ)/4 + i sen(4π/3 + 2kπ)/4)

onde k é um inteiro.

Portanto, as raízes da equação são:

• z₁ = 2(cos(π/3) + i sen(π/3)) = 2(cos(60°) + i sen(60°)) = 1 + i√3
• z₂ = 2(cos(7π/3) + i sen(7π/3)) = 2(cos(140°) + i sen(140°)) = -1 + i√3
• z₃ = 2(cos(11π/3) + i sen(11π/3)) = 2(cos(220°) + i sen(220°)) = -1 - i√3
• z₄ = 2(cos(15π/3) + i sen(15π/3)) = 2(cos(300°) + i sen(300°)) = 1 - i√3

Agora, podemos calcular a área do polígono cujos vértices são os afixos dessas raízes.

A área do polígono é igual ao módulo do vetor que conecta dois vértices consecutivos, multiplicado pelo número de lados do polígono.

No caso, o vetor que conecta os vértices z₁ e z₂ é igual a:

v = z₂ - z₁ = -2 + 2i√3

O módulo desse vetor é:

|v| = √((-2)² + (2√3)²) = √(16) = 4

Como o polígono tem 4 lados, a área do polígono é igual a:

A = 4 × 4 = 8

Portanto, a resposta certa é A) 8.

Vamos analisar essa questão juntos! Para encontrar o raio do círculo circunscrito ao hexágono regular, precisamos lembrar que o hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros.

Como o raio do círculo inscrito é igual a 2√3cm, podemos usar a relação entre o lado do hexágono e o raio do círculo inscrito. Lembre-se de que o lado do hexágono é igual ao diâmetro do círculo inscrito.

Portanto, o lado do hexágono é igual a 2 × 2√3 = 4√3cm. Agora, vamos encontrar o raio do círculo circunscrito. Para isso, vamos usar a relação entre o lado do hexágono e o raio do círculo circunscrito.

Lembre-se de que o raio do círculo circunscrito é igual ao lado do hexágono dividido por √3. Portanto, o raio do círculo circunscrito é igual a 4√3 / √3 = 4cm.

Então, a resposta correta é a opção D) 4cm.

Agora, vamos verificar se a resposta está correta. Vamos comparar a resposta com as opções:

• A) 1cm (incorreta)
• B) √3cm (incorreta)
• C) 2cm (incorreta)
• D) 4cm (correta)

Sim, a resposta está correta! O raio do círculo circunscrito ao hexágono regular vale 4cm.

A área de um quadrado inscrito num círculo de raio “r” é:

• A)r2.
• B)√2r .
• C)4 r2 .
• D)2 r2 .

Explicação:

Para resolver essa questão, precisamos lembrar que o quadrado inscrito no círculo tem seus vértices nos pontos de tangência do círculo. Isso significa que os lados do quadrado são igualmente divididos pela diagonal do círculo, que é igual ao diâmetro do círculo.

Como o raio do círculo é r, o diâmetro é igual a 2r. Como o lado do quadrado é igual à metade do diâmetro, temos que o lado do quadrado é igual a r.

Agora, para calcular a área do quadrado, basta multiplicar o lado pelo lado. Portanto, a área do quadrado é igual a r × r = 2 r².

Logo, a resposta correta é a opção D) 2 r2.

Observação:

É importante notar que essa fórmula só é válida quando o quadrado está inscrito no círculo. Se o quadrado estiver fora do círculo ou se os vértices do quadrado não estiverem nos pontos de tangência do círculo, a fórmula não será mais válida.

Além disso, é importante lembrar que a fórmula da área do quadrado é sempre lado × lado, independentemente do tamanho do quadrado. Portanto, se você lembrar apenas disso, você pode resolver facilmente essa questão.

Vamos encontrar o valor de x utilizando as propriedades dos triângulos inscritos em uma circunferência. Um triângulo inscrito em uma circunferência tem um ângulo central igual ao dobro do ângulo interno. Portanto, o ângulo central oposto ao lado de medida x é igual a 90°.

Além disso, sabemos que o triângulo é isósceles, pois os ângulos internos adjacentes ao ângulo de 45° são iguais. Logo, os lados opostos a esses ângulos também são iguais.

Desenhe uma altura do triângulo que parta do vértice do ângulo de 45° e chegue até o lado oposto. Essa altura é também o raio da circunferência, pois é perpendicular ao lado.

Assim, temos um triângulo retângulo com cateto igual ao raio (4√2 cm) e hipotenusa igual ao lado x. Podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de x:

x² = (4√2)² + (4√2)²

x² = 64 + 64

x² = 128

x = √128

x = 8√2 cm

Agora, vamos analisar as opções:

• A) 8√2 não apresenta 3 divisores naturais (apresenta 8).
• B) 8√2 não é primo (é um número composto).
• C) 8√2 é divisível por 8 (é um múltiplo de 8).
• D) 8√2 não é múltiplo de 5.
• E) 8√2 não é divisível por 6.

Portanto, a resposta correta é C) é divisível por 8.

Além disso, é interessante notar que a pirâmide regular de base quadrada pode ser vista como uma composição de planos que se intersectam. Isso ocorre porque, ao seccionar a pirâmide em diferentes alturas, é possível obter diferentes polígonos.

Começando pela base da pirâmide, que é um quadrado, é possível obter, ao seccionar a pirâmide em diferentes alturas, triângulos, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos. Isso ocorre porque as intersecções do plano com a pirâmide podem gerar diferentes formas geométricas.

Os triângulos são obtidos quando o plano corta a pirâmide de forma oblíqua, gerando uma série de triângulos isósceles. Já os quadrados são obtidos quando o plano corta a pirâmide de forma perpendicular à base.

Os trapézios são obtidos quando o plano corta a pirâmide de forma oblíqua, mas não tão inclinada quanto para gerar triângulos. Isso ocorre porque as intersecções do plano com a pirâmide geram uma figura com quatro lados, dois dos quais são paralelos.

Os quadriláteros irregulares são obtidos quando o plano corta a pirâmide de forma oblíqua, gerando uma figura com quatro lados, nenhum dos quais são paralelos.

Por fim, os pentágonos são obtidos quando o plano corta a pirâmide de forma específica, gerando uma figura com cinco lados. Isso ocorre porque as intersecções do plano com a pirâmide geram uma figura com cinco lados, que não é possível de ser obtida com as outras formas geométricas.

Portanto, como o artista plástico pode obter triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, a resposta certa é E) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.

Vamos explicar porque a resposta certa é E) 300 cm. Antes de irmos direto para a solução, vamos rever alguns conceitos importantes sobre hexágonos regulares.

Um hexágono regular é um polígono com 6 lados de igual comprimento. Além disso, todos os ângulos internos de um hexágono regular são de 120 graus.

Agora, vamos falar sobre o apótema. O apótema é a distância entre o centro do polígono e um dos seus vértices. No caso de um hexágono regular, o apótema é igual à distância entre o centro do hexágono e o ponto médio de qualquer um dos seus lados.

Vamos denotar o lado do hexágono como "a". Nesse caso, o apótema pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:

apótema = a × √3 / 2

Substituindo o valor do lado (200√3 cm) na fórmula, temos:

apótema = 200√3 × √3 / 2

Simplificando a expressão, obtemos:

apótema = 300 cm

Portanto, a resposta certa é E) 300 cm.

É importante notar que a fórmula do apótema pode ser utilizada para encontrar o valor do apótema de qualquer hexágono regular, desde que se conheça o valor do lado.

Além disso, é fundamental lembrar que a solução de problemas envolvendo hexágonos regulares muitas vezes requer o uso de fórmulas específicas e a aplicação de conceitos geométricos.

Esperamos que essa explicação tenha sido útil para você. Se tiver alguma dúvida ou precisar de mais explicações, sinta-se à vontade para perguntar!