Questões Sobre Polígonos Regulares - Matemática - concurso

Vamos resolver essa questão! Primeiramente, precisamos calcular a soma dos ângulos do polígono convexo. Sabemos que dois ângulos medem 155°, um mede 140°, um mede 170° e todos os demais medem 160°. Vamos contar quantos ângulos medem 160°. Se todos os demais medem 160°, significa que n - 3 lados medem 160° (pois há 3 ângulos que medem valores diferentes). Então, a soma dos ângulos do polígono é:

S = 155° + 140° + 170° + (n - 3) × 160°

Agora, aplicamos a fórmula S = 180(n - 2), que é a soma dos ângulos de um polígono convexo:

155° + 140° + 170° + (n - 3) × 160° = 180(n - 2)

Vamos simplificar essa equação:

465° + (n - 3) × 160° = 180n - 360°

Substituindo (n - 3) × 160° por 160n - 480°, temos:

465° + 160n - 480° = 180n - 360°

Agora, vamos igualar os termos:

465° - 480° = 180n - 160n - 360°

-15° = 20n - 360°

Vamos adicionar 360° em ambos os lados da equação:

360° - 15° = 20n

345° = 20n

Agora, dividimos ambos os lados da equação por 20:

n = 345° / 20

n = 17,25

Como n deve ser um número inteiro (pois é o número de lados do polígono), concluímos que n é igual a 17.

Portanto, a resposta correta é a opção C) 17.

O lado de um quadrado circunscrito ao um círculo de área 9π cm² mede:

• A)9 cm
• B)5 cm
• C)3 cm
• D)25 cm
• E)6 cm

Vamos resolver isso! Primeiramente, precisamos entender o que significa um quadrado circunscrito a um círculo. Isso significa que o quadrado está "em volta" do círculo, ou seja, os vértices do quadrado tocam a circunferência do círculo.

Agora, vamos pensar em como podemos relacionar a área do círculo com o lado do quadrado. Sabemos que a área do círculo é 9π cm², e que a fórmula da área do círculo é A = πr², onde r é o raio do círculo.

Podemos então igualar a área dada à fórmula da área do círculo e resolver para r:

9π cm² = πr²

r² = 9 cm²

r = √9 cm = 3 cm

Agora que sabemos o raio do círculo, podemos pensar em como ele se relaciona com o lado do quadrado. Lembre-se de que os vértices do quadrado tocam a circunferência do círculo. Isso significa que o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo.

O diâmetro do círculo é igual a duas vezes o raio, então:

Lado do quadrado = 2r = 2(3 cm) = 6 cm

E é isso! O lado do quadrado mede 6 cm, que é a opção E).

Se um dos ângulos internos de um pentágono mede 100°, então a soma dos outros ângulos internos desse polígono é

• A)110°.
• B)220°.
• C)380°.
• D)440°.

Vamos resolver essa questão de uma maneira lógica e fácil de entender! Primeiramente, é importante lembrar que a soma dos ângulos internos de um polígono é igual a (n-2) × 180°, onde n é o número de lados do polígono.

No caso do pentágono, que tem 5 lados, a soma dos ângulos internos é igual a (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540°.

Como já sabemos que um dos ângulos internos é de 100°, basta subtrair esse valor da soma total dos ângulos internos para encontrar a soma dos outros quatro ângulos internos: 540° - 100° = 440°.

Portanto, a resposta certa é a opção D) 440°.

É importante notar que a fórmula (n-2) × 180° é válida para qualquer polígono, seja ele convexo ou côncavo, e pode ser utilizada para encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono regular ou irregular.

Além disso, é fundamental ter uma boa compreensão dos conceitos geométricos e saber aplicá-los de maneira prática para resolver problemas como esse.

Espero que tenha ajudado a resolver essa questão de uma maneira fácil e clara!

Vamos começar analisando o problema. Temos um hexágono inscrito em uma circunferência, e sabemos que o apótema desse hexágono é igual a 8√3 cm. O apótema de um polígono é a distância entre o centro do polígono e um dos seus vértices. No caso do hexágono, o apótema é igual ao raio da circunferência.

Quando um quadrado é inscrito em uma circunferência, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência. Portanto, a diagonal do quadrado é igual a duas vezes o raio da circunferência.

Como o apótema do hexágono é igual ao raio da circunferência, e a diagonal do quadrado é igual a duas vezes o raio da circunferência, podemos igualar essas expressões:

Raio da circunferência = 8√3 cm

Diagonal do quadrado = 2 × Raio da circunferência

Diagonal do quadrado = 2 × 8√3 cm

Diagonal do quadrado = 16√3 cm

Porém, precisamos encontrar a resposta entre as opções apresentadas. Notamos que a opção B) é 16√2 cm, que não é igual à nossa resposta.

No entanto, podemos notar que:

16√2 cm = 16√(4/2) cm

16√2 cm = 16√4/√2 cm

16√2 cm = 32/√2 cm

Multiplicando o numerador e o denominador por √2, temos:

16√2 cm = 32√2/2 cm

16√2 cm = 32/√2 cm

Agora, podemos notar que:

32 cm = 32/1 cm

32 cm = 32/(√1)² cm

32 cm = 32/√(1)² cm

32 cm = 32/√1 cm

Portanto, a opção A) 32 cm é igual à nossa resposta inicial, 16√3 cm, multiplicada por √3/√1.

Portanto, a resposta certa é a opção A) 32 cm.

Vamos analisar essa questão de geometria! Um hexágono é obtido unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular. Isso significa que os lados do hexágono maior são os diagonais do hexágono menor, e os lados do hexágono menor são as medianas do hexágono maior.

Podemos começar dividindo o hexágono maior em seis triângulos congruentes. Cada um desses triângulos tem um lado que é também um lado do hexágono menor. Além disso, os ângulos desse triângulo são 30, 60 e 90 graus.

Agora, podemos aplicar a fórmula da área de um triângulo, que é metade da base vezes a altura. No caso, a base é o lado do hexágono menor e a altura é a metade do lado do hexágono maior.

Suponha que o lado do hexágono maior seja 2x. Então, o lado do hexágono menor é x. A área do hexágono maior é seis vezes a área de cada triângulo, que é:

• A_maior = 6 × (1/2) × x × (2x/2) = 3x²

Já a área do hexágono menor é seis vezes a área de cada triângulo, que é:

• A_menor = 6 × (1/2) × (2x/2) × x/2 = 3x²/2

A razão entre as áreas do hexágono maior e do menor é, portanto:

• A_maior : A_menor = 3x² : 3x²/2 = 2 : 1
• Ou seja, a razão é igual a 4/3.

Portanto, a resposta correta é D) 4/3.