Se ao aumentarmos, na mesma proporção, o comprimento dos lados de um quadrado obtivermos um aumento de 69% em sua área, a porcentagem do aumento no comprimento de cada lado do quadrado deverá ser

Para entender melhor esse problema, vamos analisar como a área de um quadrado varia em função do comprimento de seus lados. Seja L o comprimento do lado do quadrado e A sua área. Então, temos que A=L². Suponha que o comprimento do lado do quadrado aumente de L para L+ (um aumento de x%). Então, a área passará a ser (L+)². O aumento na área será de 69%, ou seja, a área aumentará em 0,69 vezes. Podemos expressar essa situação matematicamente como ((L+)² - L²)/L² = 0,69.

Desenvolvendo a expressão anterior, obtemos (L+)² - L² = 0,69L². Expandido, temos L² + 2Li + i² - L² = 0,69L², que pode ser simplificado para 2Li + i² = 0,69L². Dividindo ambos os lados por L², obtemos 2i/L + (i/L)² = 0,69.

Agora, precisamos encontrar o valor de i/L, que representa a porcentagem do aumento no comprimento do lado do quadrado. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrada) para resolver a equação quadrada em i/L. A fórmula de Bhaskara é dada por x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, onde, no nosso caso, a = 1, b = 2i/L e c = 0,69.

Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos i/L = (-(2i/L) ± √((2i/L)² - 4(1)(0,69))) / 2(1). Simplificando, temos i/L = (-2 ± √(4 - 2,76)) / 2, que pode ser simplificado para i/L = (-2 ± √1,24) / 2.

Agora, podemos calcular o valor de i/L, que é a porcentagem do aumento no comprimento do lado do quadrado. Temos que i/L ≈ (-2 ± 1,11) / 2. Portanto, i/L ≈ 0,30 ou i/L ≈ -1,55. Como o aumento no comprimento do lado do quadrado não pode ser negativo, então i/L ≈ 0,30. Isso significa que o aumento no comprimento do lado do quadrado é de aproximadamente 30,0%.

Portanto, a resposta correta é a opção B) 30,0 %.