Um número complexo w possui módulo igual a 16 e argumento igual a 4π/3 rad.Pode-se afirmar que a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes da equação z4 = w é igual a
Um número complexo w possui módulo igual a 16 e
argumento igual a 4π/3 rad.
Pode-se afirmar que a área do polígono cujos vértices
são os afixos das raízes da equação z4 = w é igual a
- A)8.
- B)16.
- C)32.
- D)64.
- E)128.
Resposta:
A alternativa correta é A)
Um número complexo w possui módulo igual a 16 e argumento igual a 4π/3 rad.
Pode-se afirmar que a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes da equação z4 = w é igual a
- A) 8.
- B) 16.
- C) 32.
- D) 64.
- E) 128.
Vamos resolver essa equação para encontrar as raízes e, em seguida, calcular a área do polígono.
Primeiramente, devemos encontrar as raízes da equação z4 = w. Para isso, podemos utilizar a fórmula de De Moivre:
z = w1/4 = 161/4(cos(4π/3 + 2kπ)/4 + i sen(4π/3 + 2kπ)/4)
onde k é um inteiro.
Portanto, as raízes da equação são:
- z1 = 2(cos(π/3) + i sen(π/3)) = 2(cos(60°) + i sen(60°)) = 1 + i√3
- z2 = 2(cos(7π/3) + i sen(7π/3)) = 2(cos(140°) + i sen(140°)) = -1 + i√3
- z3 = 2(cos(11π/3) + i sen(11π/3)) = 2(cos(220°) + i sen(220°)) = -1 - i√3
- z4 = 2(cos(15π/3) + i sen(15π/3)) = 2(cos(300°) + i sen(300°)) = 1 - i√3
Agora, podemos calcular a área do polígono cujos vértices são os afixos dessas raízes.
A área do polígono é igual ao módulo do vetor que conecta dois vértices consecutivos, multiplicado pelo número de lados do polígono.
No caso, o vetor que conecta os vértices z1 e z2 é igual a:
v = z2 - z1 = -2 + 2i√3
O módulo desse vetor é:
|v| = √((-2)2 + (2√3)2) = √(16) = 4
Como o polígono tem 4 lados, a área do polígono é igual a:
A = 4 × 4 = 8
Portanto, a resposta certa é A) 8.
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