Um número complexo w possui módulo igual a 16 e argumento igual a 4π/3 rad.Pode-se afirmar que a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes da equação z4 = w é igual a

Um número complexo w possui módulo igual a 16 e argumento igual a 4π/3 rad.

Pode-se afirmar que a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes da equação z4 = w é igual a

• A) 8.
• B) 16.
• C) 32.
• D) 64.
• E) 128.

Vamos resolver essa equação para encontrar as raízes e, em seguida, calcular a área do polígono.

Primeiramente, devemos encontrar as raízes da equação z4 = w. Para isso, podemos utilizar a fórmula de De Moivre:

z = w1/4 = 161/4(cos(4π/3 + 2kπ)/4 + i sen(4π/3 + 2kπ)/4)

onde k é um inteiro.

Portanto, as raízes da equação são:

• z₁ = 2(cos(π/3) + i sen(π/3)) = 2(cos(60°) + i sen(60°)) = 1 + i√3
• z₂ = 2(cos(7π/3) + i sen(7π/3)) = 2(cos(140°) + i sen(140°)) = -1 + i√3
• z₃ = 2(cos(11π/3) + i sen(11π/3)) = 2(cos(220°) + i sen(220°)) = -1 - i√3
• z₄ = 2(cos(15π/3) + i sen(15π/3)) = 2(cos(300°) + i sen(300°)) = 1 - i√3

Agora, podemos calcular a área do polígono cujos vértices são os afixos dessas raízes.

A área do polígono é igual ao módulo do vetor que conecta dois vértices consecutivos, multiplicado pelo número de lados do polígono.

No caso, o vetor que conecta os vértices z₁ e z₂ é igual a:

v = z₂ - z₁ = -2 + 2i√3

O módulo desse vetor é:

|v| = √((-2)² + (2√3)²) = √(16) = 4

Como o polígono tem 4 lados, a área do polígono é igual a:

A = 4 × 4 = 8

Portanto, a resposta certa é A) 8.